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示例: 组合数学与概率

获得一组牌的概率. Sal Khan蒙特雷科技大学 创建

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一种扑克牌用36张不同的卡片 有方块 红桃 梅花 黑桃 四种花色 每种花色有1到9不同的数字类型 共有四种花色 每种花色有9张牌 所以共有36张不同的扑克牌 每次抽9张牌 不管怎么抽 抽得的牌可被任意排列 所以题目实际上告诉我们抽取牌的顺序不是重点 抽得四张1的概率是多少? 题目要求出抽得四张1的概率 9张牌中包含四张1 这题起初看起来挺难的 大家可能 大家知道 我抽得了9张牌 从36张牌中抽出 我必须搞清如何抽得所有的1 但如果大家用非常简单的方法考虑 概率是 事件的总数 我猜大家会说 某种行为或说某种事件发生的次数 这是概率的定义 概率是事件发生的次数- 当我们讨论这种事件时 我们要将所有的扑克牌1拿在手中 这就是所求事件 所有不同的可能 这一般称为事件空间 实际上我们要数出- 如果从36张牌中抽取9张 可以抽到4张1的事件总数 这是所求事件发生的数量 我们要将它除以所有事件数 或许我可以这么写 可以取得的所有种类的牌数 蓝色写的分子是包含4个扑克牌1的事件 除以所有的事件数 先求出所有的事件 因为在某种程度上说这可能更直观 我们以前求过类似的题 现在 事件的总数 我们取了9张牌 从36张不同的牌中取出9张牌 我们已经做过很多次类似的题了 写下来 事件的总数 可能取法的总数 等于 大家可以想象一下 取9张牌 抽取的第一张牌 将是从36张中抽一张 下一张将是从35张牌中抽一张 下一张将是从34 33 32 31张牌中抽取一张 我们要像这样抽取九次 如果考虑顺序 这将是所有取法的总数 但我们知道 之前我们复习过了 我们不关心顺序 我们关心的是取出牌的面值 所以这里数多了 我们考虑了这些卡片所有不同的排列 方块是取出的第一张牌还是最后一张 都没关系 我们已经考虑过这种取法了 在这里我们将它们看做了两种取法 但它们不算是两种取法 顺序不需要考虑 我们必须 将总数除以9种牌不同排列的方式 所以第一个位置大家可以放任意九张牌 第二个位置可以放8张 第三个位置7张 第四个位置也类似等等 实际上是9的阶乘 乘以2乘以1 我们已经很多次看到这个了 这是从36张牌中选9张 这个表达式说的是同样的- 大家可以将这个联系到熟悉的组合公式 这就等于36的阶乘 除以36减去9的阶乘 代表的就是这个橙色的部分 除以9的阶乘 绿色代表绿色部分 橙色代表橙色部分 这就是所有取法的总数 再讨论下稍微不同的思考过程 我们怎么求出所需事件发生的总数 在这些事件中包含所有的1 现在求解一下 数量 或许我们可以说 包含四张扑克牌1的取法总数 这有点像思维实验 想象一下如果 我们只取四张牌 如果每次只取四张牌 如果每次只取四张牌 那么 包含四个1的取法总数 只有一种可能 一种组合 可以取得四个1 如果我们只取四张牌 这是包含四张牌1的唯一组合 但这里 我们不只是取四张牌 其中四张是牌1 1 2 3 4 但其它五张牌可以不同 所以1 2 3 4 5 对于其余五张牌 如果大家想象一下这个框架 考虑到36张牌中我们必须要取出这四张 以使我们包含四个1 我们已经用掉四个位置了 所以取法的这个位置中有32张牌可供选择 取法的这个位置有31张牌可供选择 然后这里有30张牌可供选择 因为每次我们都取出一张牌 用掉这张牌的位置 现在我们只有30张牌可以选择 然后只有29张牌可供选择 然后是28张牌供选择 就像我们之前那样做题 我们不需要考虑顺序 我们不关心梅花5是第一次取还是 最后取得 我们不需要重复计数 我们要除以五张牌被任意排列的方式总数 我们必须 将这个除以五张牌可被排列的方式总数 第一张牌或说第一个位置可以是五张牌中的任何一张 第二张牌可以是4张中的一张 然后是3张 2张 1张 所以包含四张1的取法总数是这个 实际上大家要找出剩余牌 所有不同的组合 这四张1就是需要的四张1 如果剩下的牌给出了所有可能的不同组合 这种组合只有一种可能 所以这是所有不同组合的统计 因为剩下位置的所有可能将是 所有不同的取法 现在大家知道包含四个1的所有取法是这个数 现在可以除以可能取法的总数 我故意没有把它们乘出来 因此我们可以消除一些量 大家计算一下 大家用这个数 除以那个 复杂粘贴一下 使用这个式子 将它除以这个 除以一个因子也就相当于乘以 它的倒数 乘以它的倒数 乘以 这是分母 把它作为分子 复制一下 再粘贴 这是分子 这是分母 因为除以了这个表达式 我 喔 写在这儿 使用选择工具 确保一下 选择了所有的数 复制一下 再粘贴 这些线条看起来有点乱 但我想这样能达到我们的目的 这可以很好地达到我们的目的 当乘以这个时 实际上是除以这个表达式 现在我们可以很容易地简化 我们有- 实际上我忘记了 这应该是9的阶乘 这应该是9乘以8乘以7乘以6乘以5乘以4 乘以3乘以2乘以1 把这个写在这两个地方 实际上我 清除一下这两个地方 清除 不想让大家感到混乱 清除 如果我之前这样写让大家感到混乱了 很抱歉 这将是9的阶乘 9乘以8乘以7乘以6乘以5乘以4乘以3乘以2乘以1 复制 粘贴一下 复制 然后粘贴 就是这个 在那儿 这是分子 分母中有5乘以4乘以3乘以2乘以1 这些和这部分抵消了 然后有32乘以31乘以30乘以29乘以28 这将和这个抵消了 那个和那个抵消了 还剩下这部分 重新写一下 9乘以8乘以7乘以6除以 这将是化简表达式的一个练习 36乘以35乘以34乘以33 大家看看 如果我们将分子和分母同时除以9 这变成1 这变成4 可以将分子和分母同时除以4 这变成2 这变成1 将分子和分母同时除以7 这变成1 这变成5 可以再将它们同时除以2 然后这变成1 这变成17 可以将它们除以3 这变成2 这变成11 剩下来的是 从36张牌中取得九张牌 其中包含四个1的概率是 分子中 剩下这个2乘以1乘以1乘以1乘以1 这等于2除以5乘以17乘以11 这是- 这是个较复杂的问题 5乘以17乘以11等于935 这等于2除以935 大概是千分之二的概率 或者500分之一的概率 粗略地说 这不是个确切的几率 大概是500分之一的概率 从36张牌中取9张牌 其中包含四张1