有限等差数列的证明

在上个视频里，我们证明了 所有正整数直到n且包括n的和 可以写成n乘以n+1然后再除以2。 我们是用归纳法证明的。 在本期视频我要向你展示 其实还有一个更简单方法来证明。 但不是用归纳法，所以 本期视频不会讲到归纳法。 但我会展示给你看它是存在的， 这样你就知道归纳法不是唯一的证明方式。 那么我们定义一个方程叫S(n) 代表着从1一直到n之间且包括n的 所有正整数的和。 所以，就等于，根据给出的定义， 从1加2加3。。。一直加到n - 1加n。 也就是从1到n之间包括n的所有整数之和。 这就是我们的定义。 那么，我们可以将它重写。 我们可以说这个和，S(n)——我们可以 将这同一个东西重写，但可以重写成 用另一种顺序来表示。 我们可以说这就等同于S就是n加n - 1 加n - 2加n - 3一直加，加到2，再加1。 这样做有什么用呢？ 我们可以把这两行加起来。 如果我们把S(n)加上S(n)，我们就 得到2倍的这个和，所以我们只是 把左边加了起来。 然后我们也可以把右边也加起来。 所以我们就是把这个和加成了2倍，但有意思的地方在于 我们加的方法不一样。 我们把这一项加上这一项，再 把这一项加上这一项，其实我们就是 把上下对应的两项都加起来。 我们可以选择任何的方式来相加。 那么1加n就是n + 1。 然后我们来加——让我换个粉色——2 加上n - 1。 那么2加上n - 1是多少呢？ 我写在这里。 2加上n - 1。 其实就等同于2加上n再减去1 所以还是一样等于n + 1。 2-1就是1。 所以同样等于n + 1。 然后这里这一项，3加上n - 2，或者说减2 再加3。 同样地，等于n + 1。 然后每一项都是同样的情况 一直到这里，n - 1再加上2。 还是等于n + 1。 然后最后，我们这里有一个n + 1。 加上n + 1。 那这里所有的和等于多少呢？ 那么，这里有多少个n + 1呢？ 一共有n个， 每一个和里有n个项。 因此这是从1，2，3一直数到n。 一共有n项。 所以一共有n个n + 1。 如果我们把某个数加起来n次， 或者说把某个数乘以n次， 就刚好等于n乘以n + 1。 所以两倍的这个所有正整数的和 一直到n且包括n就等于 n * (n + 1)。 如果我们把左右两边同时除以2， 就得到了这个和的表达式。 所以从1一直加到n且包括的和 就等于n * (n + 1)再除以2。 那么这就是没有用到归纳法的证明方式。 其实就是纯粹的代数证明。