等差级数（算术级数）公式

我们来写一个等差数列的通用表达式 第一个数我们设为a 之后每一项在前一项上加d 就这样一直加下去 这个差值可能是正数，也可能是负数 我们叫它公差 数列里的第二项就是a+d 第三项是a+2d 之后每一项都加d 直到数列的第n项 你们已经看到这里的第一项 我们加了0个n 第二项加了1个n 第三项加了2个n 可以推知，不管项的指数是多少 我们都是加比它少1个的d 所以，如果要一直写到第n项的话 我们就要加n-1个d 也就是(n-1)d 就是这样 让我把它写下来 这里的就是我们的第n项 现在我要做的是思考 怎样对等差数列求和 等差数列的和 就叫等差级数 我用黄色来写 换颜色还是挺麻烦的 等差级数即使 一个等差数列的和 我们叫它Sn 它就等于所有各项相加之和 这就是a+d+a+2d 直到加到第n项 也就是a+(n-1)d 现在我们要做和 计算基本等差数列一样的事 我要把这个和它自己相加 但是我要把各项的顺序进行调换 我要把Sn的顺序 倒过来写 我先写最后一项 第n项是a+(n-1)d 第二项就是倒数第二项 是a+(n-2)d 第三项是倒数第三项就是a+(n-3)d 然后我们要把剩下的项颠倒顺序 一直写到第一项，也就是a 现在我们把这两个式子加起来 左边等于Sn +Sn 也就是2Sn 那这边两个第一项 之和是多少呢？ 两项相加等于a+a+(n-1)d 也就是2a+(n-1)d 我们再来加两个第二项 它们相加 等于什么呢？ 等于2a d+(n-2)d等于什么呢？ 可以从不同角度去想 我写在这边 d+(n-2)d 也就等于 1d+(n-2)d 把系数相加就可以了 这就等于(n-2+1)d =(n-1)d 所以第二项相加也等于2a+(n-1)d 我们再加两个第三项 我用绿色来写 两个第三项相加 我想你已经看出规律了 这一部分等于2a 用2+(n-3)乘以某数再加2 也就等于(n-1)乘以某数 也就是(n-1)d 接下来就是重复这些步骤 直到加完第n对 最后结果应该是 2a+(n-1)d 所以你每两项相加得到的都是 2a+(n-1)d 总共重复加了几次呢？ 在加两个等式的时候 你一共有n对这样的项 每一个数列都有n项 这是第一项，这是第二项 这是第三项，一直到第n项 我可以把它改写为2倍的和 也就是2Sn就等于n倍的这个结果 也就是n×(2a+(n-1)d) 如果我们要求Sn 只需要把两边同时除以2 就得到了Sn的结果 结果就等于 n×(2a+(n-1)d) 所有这一部分除以2 我们已经得到了一个通用表达式 这是个关于第一项、 数列公差 和项数的函数 这就是等差数列求和公式 我们叫它等差级数 但我们要问自己这样一个问题 n×(2a+(n-1)d)/2 这个公式并不好记 在上个视频中，我们算过更具体的例题 我说到过，等差数列的和 或许能够写成 第一项和最后一项的平均数 数列的第一项加上最后一项的平均数 再乘以总的项数 那么事实确实如此吗？ 这两个式子等价吗？ 因为这个式子很好记 第一项加最后一项求平均数 再乘以总的项数 这很直观 因为每一次都是增加相同的量 所以我们就直接求首项和末项的平均数 然后乘以总共的项数 我们所要做的就是给这个式子变形 看看是否和这边的 相等 我们只需要把这个2a拆开 我们来做变形 这就可以写成 Sn=n×(a+a+(n-1)d) 只需要把2a拆成a+a 整个这一部分再除以2 可以看出，根据我们的定义 第一项a1=a 最后一项an=a+(n-1)d 因此整个这一部分 实际上就是第一项和最后一项的平均数 如果知道第一项，把它和最后一项相加 除以2 然后再乘以总共有多少项 这是对任何等差数列都适用的 就是这个式子