等差数列简介

假设我们现在看着 最简单的一个等差数列， 应该也是最简单的数列， 1，2，... 我们从1开始 增加1 1，2，3 一直到n。 我想思考的是 这个数列的和是什么？ 我们知道数列的和 也叫级数。 所以数列的和是什么？ 我会定义它为Sn 这会等于什么？ 1+2+3+ ... 一直到n。 我现在告诉你一个小诀窍， 我会重新写这个数列， 我还会定义它为Sn， 但是现在我反过来写。 我会把它写成n+(n-1) +(n-2) 一直到1。 我现在会把这两个等式加起来 我们知道Sn等于这个 所以我们在等式的双方加的是一样的东西。 等式的左手边是Sn+Sn 就是2乘Sn。 等式的右手边是 这是我们即将要见证奇迹的时刻 有个1+n 就是n+1。 有个2+(n-1) 就是... 2+(n-1) 又是n+1， 加n+1。 有个3+(n-2） 还是n+1。 我觉得你有可能已经看出来在发生什么了 我们一直写到最后一对 也可以称它们为最后两项。 我们又有个n+1， 加n+1。 所以我们有几个这种n+1？ 我们有n个， 因为每一个数列有n项， 1，2，3 ... 一直到n。 所以我们可以把这些重新写成2乘Sn 等于，你有n项(n+1)， 所以我们可以重新写成n(n+1) n乘(n+1)。 所以为了求出Sn，求出数列之和， 我们可以将双方除以2。 左手边只剩从1到n的和， 这个等差数列，每一项是上一项加1， 从1开始，等于n乘n+1除以2。 这挺有意思的，因为你现在可以快速算出一个数列的和， 比如说从1到100 就是100乘101除以2。 你可以快速算出总和。 我好奇的是，也是我们会在下一个视频内讨论的东西， 是这是否为所有的等差数列成立。 我们从一个很简单的1开始， 我们从1开始，每次加1。 看起来是 如果我用这个方式写 这是n乘n+1除以2。 这个n 是数列的第n项， 这个1 是数列的第1项。 所以这次我们取了 第一项和第n项的平均值。 这个是 平均值， 这个是a1和an 的平均值， 我们再将它乘以n。 我好奇的是，这是否为所有的 等差数列成立， 数列之和等于第一项与左后一项 的平均，乘以项数。