等差序列导论

本视频是要帮大家熟悉 一种很普通的数列。 就是等差数列。 这种数列很容易辨认。 其特征是每一项与前项之间的差 是一个固定值。 因此我的任务是找出这些数列中哪些 是等差数列。 然后我们练习运用 数列表达式， 把所求的项用该项序数 的显函数表达， 或用递归定义。 那么首先，已知在等差数列中， 后项与前项之差是一个固定值， 这些数列中哪个是等差数列？ 我们先看这第一个数列。 从 －5 到 －3，差是 +2。 然后从 －3 到 －1， 差还是 +2。 然后从 －1 到 1，差仍然是 +2。 因此这显然是等差数列。 每个前后项之差都一样。 有几个方法可以确定该数列。 可以把该数列中的元素表为 a 下标 n。 有时候下标用 k。 这次我用 n 来标示。 n 可以从 1 到 无限大 － 我们有两个方法 可以确定数列。 我们可以采用显式表达法， 或者用递归法。 如果用显式，可以把 a 下标 n 用包含首项的式子来表达。 本例中，首项是 －5。 这样该通式等于 －5 加上 2 乘以项序数减去 1 。 所以对于第二项，加上 2 的一倍。 所以对于第三项，加上 2 的两倍。 所以对于第四项，等于首项 加上 2 的三倍。 因此每一项都比前项增加 2。 第 n 项就是把首项加上 2 的 n 减去 1 倍。 这就是该等差数列 的显式表示。 如果我要用递归表示法， 先写 a 下标 1 等于 －5。 对于从第二项起的各个续项， a 下标 n 等于 a 的下标 n－1 加 2。 每一项等于其前项 加上 2。 这个式子里 n 至少是 2。 这两种方法都 是正式表达这个 等差数列的方法。 用显式表达 或递归式表达都可以。 再来看这个数列。 这是不是等差数列？ 首项是 100。 第二项增加 7。 然后从 107 到 114，又增加了 7。 从 114 到 121，还是增加 7。 所以这确实是等差数列。 这样我们可以确认，第一个是等差数列， 第二个也是等差数列。 这个数列的通项是 a 下标 n ， 其中 n 可以从 1 到无穷大 － 而 a 下标 n 的显式可以是 100 加上 7 乘以一个递增的整数。 我们看具体的每一项 － 第二项是加上 7 一次。 第三项是加上 7 两次。 因此第 n 项，就是加上 7 乘以 n－1。 这是显式表达，然而我们也 可以用递归法来表示。 所以这里要说清楚，这只是确定该数列的 一种方式，我们也可以把 a 下标 n ， 其中 n 可以从 1 到无穷大做其它形式的表达。 两种方法都要标明具体特征。 如果用递归法来确定， 可以先写首项是 100。 对于 n 大于 1， a 下标 n 等于前项加 7。 这样就写完了。 这是另一种确定数列的方法。 总之，表示等差数列 的通用方法， 是把通项写成 a 下标 n － 如果 是无限数列 － n 就从 1 到无穷大。 如果要用显式表达， a 下标 n 就包括一个常数， 它实际上是第一项。 通项等于某常数 K 加上项差 d （项差可以是 正或负数） 乘以 n 减去 1。 这是确定等差数列的一种方法。 在本例中，项差是 2。 在这个例子中，项差是 7。 这是每一项和前项的差别。 这个数列里，K 等于 －5，而那个例子里，K 等于 100。 另一方面，如果你要用 递归方式来定义一个等差数列的通式， 可以先写 a 下标 1 等于 K， 然后写 a 下标 n 等于 a 下标 n－1 再加项差。 某指定项等于其前项 加上 d，如果 n 大于或等于 2。 重申一下，这个方法是显式法。 而这个方法是递归表示法。 我们要把它写清楚。 最后我们要看这下面的数列 是不是等差数列？ 我们来检验一下。 首项是 1。 然后加上 2 得到第二项。 接着再加上 3 得到第三项。 这样马上就可以判断出它不是 等差数列。 接着还得加上 4 才能得到第四项。 每次项差都不同。 因此我们首先确定， 这不是等差数列。 那么如果要表示这个 数列，怎么办？ 假如我们要用递归法来表示。 这时我们可以先写其通项为 a 下标 n ， n 从 1 到无穷大， 具体为 － 首项 a 下标 1 等于 1。 但是对于 n 等于或大于 2 时， a 下标 n 等于多少？ 从例子看， a 下标 2 等于前项加上 2。 a 下标 3 等于前项加上 3， a 下标 4 等于前项加上 4。 所以该通项等于前项 加上该项序号。 这一点似乎和等差数列很相近，但要注意 本例中项差随着 每项的序号而变化。 本例中项差就等于该项的序号。 对于 n 大于或等于 2 都是如此。 如果是等差数列， 无论该项的序号是多少， 前后项差都是固定的。 这里每项等于前项加上本项序号。 因此这个数列不是等差数列，虽然它是个 有趣的数列。