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求解 cos (θ) = 1 和 cos (θ) =-1

萨老师用y=cos(θ)的图表解出了 cos(θ)=1和os(θ)=-1。 Sal Khan蒙特雷科技大学 创建

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- [讲述者] 在下面的图象中,哪些θ的值 可以使得cos(θ)等于1, 以及哪些θ的值会使得cos(θ) 等于负1? 并且他们非常好的已经给我们画好了图, 横轴是θ轴, 纵轴是y轴, 因此这个图象是y等于cos(θ)的图象。 并且它跟单位圆的定义相吻合, 我只是确认一下大家都清楚这些东西的含义, 因为在我们的单位圆定义中, 让我先画一个单位圆, 我会画的比较粗略, 只要我们能够理解 其中的基本概念就行。 当θ等于0的时候,我们在这一点上 在单位圆上。 那么这一点的x坐标是什么呢? 是1,并且你可以看到当θ等于0的时候, 在这张图上,cos(θ)等于1。 当θ等于π/2的时候, 我们在单位圆上的这一点, 那么x坐标是什么呢? 那里的x坐标是0。 于是你可以再次发现,当我们在π/2的时候, x坐标是0,所以这与我们的单位圆的定义 是完全符合的。 在我们向右方向移动的时候, 我们在沿着单位圆按逆时针方向移动, 而在我们向左方向移动的时候, 我们在按逆,哦不。 如果我们向右方向移动, 我们在朝着逆时针方向移动, 而当我们向左方向移动的时候, 沿着角度轴的负方向, 我们在按顺时针方向移动,我们在 沿着单位圆按顺时针方向移动。 那么让我们回答他们的问题。 对于什么θ的值可以使得cos(θ)等于1? 我们可以从这里的图上直接读出来。 它等于1,所以cos(θ)等于1, cos(θ)等于1的点在, 在θ等于,嗯,我们可以从这里看出来。 θ等于0,θ等于, 我们这里需要再走一整圈到达2pi, 2π,但是我们还需要再继续往前 一直往前,这比较合理。 θ等于,不对,cos(θ), 这个单位圆的x坐标等于1 当我们在0度角的时候, 并且我们需要绕着圆再走一圈 回到原点,也就是2π弧度。 但是除此之外还有当我们到达4π弧度, 然后6π弧度,所以2π,4π,6π, 我想你已经可以看出这里的规律了。 我们每隔2π会一直回到cos(θ)等于1, 所以你可以把这个看作是 2π的整数倍。 2πn,其中n是一个整数,n是整数… 是一个整数。 而这一点对于负值也适用。 如果你要向另一侧走, 注意我们开始的时候在0点,并且下次 我们再回到1是在负2π的位置, 然后是负4π,然后一直 一直这样下去。 但是这也适用,如果n是一个整数的话,n可以是 一个负数,因此我们可以到达 所有的负的 θ,在这些点上cos(θ)等于1。 现在让我们想想当cos(θ) 等于负1的时候。 那么cos(θ)等于负1 在θ等于,这里我们可以再 看一下这里的图象。 当θ等于π的时候, 当θ等于π的时候,让我们看看, 好吧,它好像超出了这张图的范围, 但是这个图象会一直像这样继续下去, 会一直像这样继续下去,并且你会看到 它也会在3π。 并且你也可以在这里看出来。 θ,cos(θ)等于负1 当我们在单位圆上的这一点的时候。 这会在π弧度的位置再次发生, 然后它会在我们到2π的时候, 是3π的时候,3π弧度的时候再次发生。 然后它会在我们到2π, 是我们再加一个2π的时候, 直到我们再转一整圈的时候才会发生, 那也就是5,5π弧度的时候。 并且你可以这样继续加下去, 这在负方向上也是一样的, 所以如果我们取距离这一点2π的位置, 如果我们本来在这里,然后我们转一整圈 回到负π,它也应该是符合的, 并且你可以在这张图上看到它。 所以你可以认为这是2π, 2πn加π, 或者你也可以看作是2n+1, 或者是2n+1乘以π, 其中n是一个整数, 让我把它写得更清楚一些,n是整数。 在这些点上的每一个点,cos, 或者对于每一个这样的θ,cos(θ)就会 一直得到负1。 并且你可以看到它,它从一个最低点, 或者从一个谷底到下一个谷底, 它需要经过2π才能到达下一个谷底, 2π到达下一个谷底。 并且对于顶峰来说也是一样的。 需要经过2π才能从一个峰值 到下一个峰值,然后再一个2π 到再下一个峰值。