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主要内容

使用余弦角二倍角等式

视频字幕

这里,我们有一个三角形 ABC,看着像一个直角三角形。 我们知道,它是一个直角三角形, 因为 3的平方加上4 的平方等于 5 的平方。 题目要求我们求出 角ABC 的2倍的余弦是什么。 这是角 ABC, 我们不能马上给出它的值, 但是我们知道角ABC 的余弦是什么, 我们知道,角ABC 的余弦-- 余弦就是邻边除以斜边, 它就等于 3/5。 类似,我们知道角ABC的正弦是什么, 它是对边除以斜边, 它就是4/5。 如果我们能把它分解为角 ABC 的余弦 和正弦,那我们就能得到它的值。 幸运的是,我们有一个三角恒等式 正好能解决问题。 我们知道一个角的2倍的余弦 等于这个角的余弦的平方 减去这个角的正弦的平方。 我们在另一个视频中已经对它进行了证明。 但是这里,它对我们很有帮助。 因为现在我们知道它的余弦-- 我们用不同的颜色。 现在我们知道角 ABC 的余弦 应该是--奥, 对不起, 它是 2倍的 角ABC, 这是我们所要关注的, 2 乘以角ABC就 等于 cos(角ABC) 的平方 减去 sin(角ABC) 的平方。 我们知道这几项的值。 这里这一项 就等于 3/5 的平方, cos(角ABC) 是 3/5, 我们取它的平方。 这一项是 4/5 的平方, 它就是减去 4/5的平方。 它就简化为 9/25 - 16/25。 它等于 7/25。 对不起, 应该是负值, 这里要小心。 16 大于 9 , 负的 7/25。 现在, 你们会有疑问, 这里我为什么会得到一个负值呢? 我把这个角扩大2倍,为什么得到负值呢? 而这个余弦很清楚是个正值。 这里,你需要考虑一个单位圆-- 我们知道,三角函数中的单位圆定义是 SOHCAHTOA 定义的扩展, X 轴, Y 轴 在这里画一个单位圆, 我尽可能画好一些。 这是我的单位圆, 这里的这个角就是这样的, 你看到,它的 x 坐标-- 就是这个角的余弦--看着是正的。 但是,你如果把这个角乘以 2, 它就到了这个地方, 这样,你看,根据单位圆的定义, 它的x 坐标是在第二象限, x坐标就是负值。 这就是在这个题目中实际发生的事实。