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主要内容

视频字幕

上个视频中,我们证明了 正弦角加法公式 你可以想象,这个视频中 我们要进行余弦角加法公式的证明 或者说,cosine x+y 等于cosine x,consine y 减去 正弦加法里面是正号,这里是负号 减去 sine x, sine y 我们用同样的方法来证明 和正弦加法的证明过程一样 我鼓励你现在暂停视频 或者任何你觉得想到办法的时候, 来看看是否可以自己推导出来 如果我们在证明sine x+y时候做的 cosine x+y等于多少? 在这个图中,应该等于什么? x+y,是这里这个角, 如果我们看直角三角形ADF,cosine x+y 是邻边F除以斜边 AF除以斜边,或者说,因为斜边为1, 所以,AF除以1,就是AF cosine x+y就是这个线段的长度 线段AF的长度 这里的这个,等于这里的这个 让我把它写出来 线段AF的长度等于cosine x+y 我们来想下如何计算 我们这样考虑 这个图中,有另外一个直角 如果我们能够计算出这个,或者AF 我这么写 这个,也就是AF,等于 我这么写,它等于线段AB的长度 它等于线段AB的长度 也就是这里整个线段 减去线段FB长度 减去这里这段 减去FB的长度 从我们cosine加法公式的形式, 你可能会猜, 哪个是AB,哪个是FB? 如果我们可以证明AB等于这个 如果我们可以证明FB等于这个,那么就搞定了 因为我们知道cosine x+y 也就是AF,等于AB减去FB 如果我们可以证明这个,它等于这个减这个 我们来看下它们实际是什么? AB是什么? 我们看直角三角形ACB 我们从上个视频知道, 因为三角形ADC的斜边为1 这个长度为1,AC就是cosine x AB是多少,想下, AB是这个角y的邻边, 我们可以说cosine,我写这里 我们可以说,因为我已经考虑过 我们可以说,cosine y cosine y等于它的邻边 邻边的长度 它是线段AB除以斜边, 除以cosine x 或者,将两边同时乘以cosine x 得到线段AB长度等于cosine x cosine x 乘以cosine y, 这个正好是我们要证明的 我们证明了AB就是 线段AB的长度, 就等于cosine x 乘以cosine y 这个部分等于cosine x cosine y 现在我们要证明这个线段FB 它等于sine x sine y 这里的这个部分看上去比较独特 它不是任何一个直角的部分 不在我已经画出的 这些直角里面 我们可以从图形ECBF看到它是矩形 我们使用正弦角加法 证明中得到的结论 我们这里同样可以用, 因为它告诉我们FB等于EC ED等于多少? 我们这里有角y 角y的对边是多少? 我们要包含sine 我们知道这个是sine y 看这里,它等于 对边的长度,也就是EC的长度 也就是EC的长度除以斜边 也就是sine x 我们从上个视频得到了 如果这个是X,对边除以斜边就是sine x 斜边为1 所以,对边等于sine x 现在将两边同时乘以sine x 我们就得到想要的了 EC等于sine x 乘以sine y 再次,EC就是 它的长度等于FB 我们刚刚演示了线段FB 等于sine x 乘以sine y 它等于这里这个 再次, cosine x+y 等于线段AF 等于线段AB长度减去 线段FB长度 也就是等于,我们已经证明了 线段AB长度是cosine x consine y 减去线段FB长度, 也就是sine x sine y,证明完毕