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主要内容

视频字幕

本视频中,我们将去证明 sine的正弦角加法公式, 或者说,特别去证明,sine x+y 等于sine x 乘以 cosine --我忘了x了 sine x 乘以cosine y, 加上cosine x乘以sine y 我准备用这里的图 来证明它 你可以这么看, 我们有这个红色的直角三角形,斜边为1 我们称这个为三角形ADC 它的底边是三角形ACD的斜边 我可以, 我把它勾边成蓝色 因为我已经把这个角定义为y了 AC是三角形ADC的底边, 同时也是三角形ABC的斜边 它们两个上下堆在一起,像这样 我思考的方式是,首先, 我们看下sine x+y等于多少? x+y是这里整个这个角 如果你看这个直角三角形ADF 我们知道,sine的计算, 是对边除以斜边 这里斜边是1,所以, 这个角的sine值是对边除以1,或者说这个角的sine值, sine x+y等于 对边的长度 所以,sine x+y 等于 线段DF的长度 我要做的是,DF的长度 是我们要求解的,但是 我们可以把线段DF分解为两个部分 我们可以把它分为 线段DE的长加上线段EF的长 我们可以说,DF,等同于 Sine x+y, 线段DF的长度 等于是 线段DE的长度,加上线段EF的长度 EF的长度当然等于线段CB的长度 ECBF,这里这个 它是矩形,所以,EF和CB长度相等 所以,这个这个就等于DE 线段DE的长度,加上线段CB的长度 再次,我们来证明的方式, sine x+y,也就是DF的长度, DF可以分解为DE和CB两个部分 现在,有了这个提示,我鼓励你试下 是否可以将DE的长度表示为x,y,sine,cosine的形式 同时,算一下线段CB 它的长度,以x,y,sine,cosine来表示 尽量自己推导一下 看能否算出来 好,我们来一起做一下 我们知道sine x+y可以这样表达 我们看看是否可以算出来 我尽量算出这里面的 尽可能多的角和长度 我们从上面这里这个红色三角形开始 它的斜边是1 所以,DC的长度是多少? 它就是角x的对边 所以,我们知道sine x就等于这里的DC 或者说DC除以1,也就是DC 这里的长度就是sine x的值 线段AC,同样的逻辑 cosine x就是AC的长度除以1 也就是AC的长度 这里的这个长度 线段AC长度就是cosine x的值 这个很有趣,现在我们看看如何 计算这个三角形,这里这个三角形ACB 我们如何计算CB? 我们知道sine x 我写这里 sine y等于多少? 它等于线段CB的长度除以斜边 斜边这里等于是cosine x 我想,你可能看到了推导的方向了 如果是的话,请暂停视频 试一下自己独立完成证明过程 线段CB的长度,如果 我们把两边同时乘以cosine x 线段CB的长度等于 cosine x 乘以sine y 这样很简洁,因为我们刚刚演示了, 这里这个部分等于这里这个 为了完成证明,我们值需要证明 这个等于这里这个 如果这个等于这个,然后这个等于这个, 我们已经知道,它们的和 等于DF的长度,也就是sine x+y 我们看看是否可以算出来,如果我们用某种方式表达出DE 哪个角会比较有用?如果我们能够通过某种方式 算出这里这个角,或者,也许这个角,我们来看看 如果我们可以算出这个角,那么 DE就可以表示为这个角和sine x 我们看看,是否可以算出这个角 我们知道,这里这个角y, 我们还知道这里是直角 EC平行于AB,所以,我们可以将AC视为截线 如果这里是角y 那么我们知道,这里这个等于角y 再次,请注意,如果AC是截线, EC和AB平行,如果这个等于y,那么这里也等于y 如果这里是y,那么这个就是90减去y 如果这个是90度,那么这个是90减去y 然后这两个角加起来等于180减去y 如果这三个加起来等于180, 那么这里这个就一定等于y 验证一下,y加90减去y加90,等于180 这个很有用,因为现在我们可以 将线段DE长度表达为y和sine x DE和y是什么关系? 它是邻角,所以,我们想到了cosine 我们知道cosine y,如果看这里 三角形DEC,我们知道cosine y 等于线段DE除以斜边,除以sine x 你现在应该明白了, 因为我们刚刚演示了,如果将两边乘以sine x 我们得到,DE等于 sine x 乘以cosine y 我们已经演示出来了,这个等于这个 也演示了CB等于这个, 所以,DE和CB的和,等于 DE和EF的和就是sine x+y,这里 证明完成了,我们证明了 正弦角的加法公式