反正切函数的定义域与值域

题目给出了g(x) 等于x减去二分之三π的正切加六 求g的反函数 题目让我们在这里输入答案 同时还要求我们求 g的反函数的定义域 g的反函数的定义域 这里是我用来解题的 小草稿本 我们一起来求g的反函数是多少 这是g(x)，那g的反函数 让我读一下 这是g(x) g(x)等于x减去 二分之三π的正切加六 g的反函数，我可以 我可以将x替换成g的反函数 然后把g(x)替换成x 之后求g的反函数 x等于g的反函数减去 二分之三π的正切加六 我们一起来求g的反函数 我鼓励你先暂停视频 然后试着自己做这道题 我们从两边减去6 或者说先解决这里的6 现在是x减6等于g的反函数 减去二分之三π的正切 现在我们在等式的两边 求反正切 在左边就是 x减6的反正切 然后右边是反正切然后正切 假如我们合理地限制定义域的话 等下我会再讲这个 这就等于正切函数的 输入值 假如你正确地限制了定义域的话 西塔的正切的反正切 就等于西塔本身 再说一遍，这是在我们正确地 限制了定义域，或者说限制了西塔 可能的值的情况下才成立 现在假设我们已经这么做了 那正切的反正切，这就 等于这里这部分 就等于这个 等于g的反函数 减去二分之三π 现在我们就到了最后冲刺了 求解g的反函数 我们可以在两边加上二分之三π 我还可以将两边对调一下 得到g的反函数等于 x减去6的反正切 然后我们还得在两边加上二分之三π 左边现在到右边来了 所以是加上二分之三π 我们把这个输进去 希望我还能记得 因为等下我的屏幕上就看不到了 x减6的反正切加上二分之三π 让我写下来 输入进去 g的反函数等于 我可以这么写 x减去6的反正切 它识别正确了 反正切也是arctan x减6的反正切加二分之三π 这识别正确了 但我们要想想 g的反函数的定义域是什么 g的反函数的定义域是什么 我们再多想想 g的反函数的定义域 我们想一下正切是在干什么 我们想象一个单位圆 这是个单位圆 估计我们得发挥一下想象力 我的笔有点奇怪 老是在这里断墨 但我觉得这问题不大 我们就先假设 这是一个单位圆 这是x轴，这是y轴 假如你做一个角西塔 假如你在这做一个角西塔 那西塔的正切就是 角的这条射线 这条终止位置的射线 这是这条射线和 沿着x正半轴的射线形成的角 西塔的正切就是这个斜率 除了几个个例，你可以得到任何西塔的正切值 你可以求这里的正切 你可以求这里的斜率 你可以求这里的斜率 你也可以求这里的斜率 你可以求这里的斜率 但是你当射线是笔直朝上的时候 或者笔直朝下的时候 你没法求斜率 这是你不能求斜率的情况 你可以说这是斜率等于 正或者负无穷的时候 正切的定义域 是所有实数 所有实数，除去…… 二分之π加上π的倍数 除去二分之π加上π的倍数 k可以是任意整数 所以也可以是减去π 因为二分之π 加上π，你就到了下面这 再加一个π就上到这里 假如你减去π，你就到了下面这 再减一个，就上到这里了 这是定义域 但是从这个定义域你可以得到任意实数 值域是所有实数 因为你可以得到任何斜率 你可以通过增大西塔来得到很大的斜率 或者减小西塔来得到很小的斜率 到这个位置 可以得到任何斜率 现在我们要求反正切 根据惯例…… 如果要让正切是可逆的 那你不能在定义域内有 多个元素对应值域里面的 同一个元素，比如 这里这个角的斜率 和这个角完全一样 如果你不限制定义域来 去掉一个西塔的话，那这两个 西塔都对应同样的正切 那这就不是可逆的 所以惯例是，为了让正切是可逆的 我们把定义域 限制在负二分之π 到二分之π这个区间内 你可以往反正切里面 放任何实数 所以反正切的定义域 这其实只是惯例 大家本可以把正切的定义域限制到别的范围 只要在定义域里头只有一个西塔 对应值域里面的一个特定元素就行 但是惯例就是这样 把正切的定义域限制在了 负二分之π到正二分之π之间 反正切的定义域是所有实数 但是值域是有限制的 根据惯例，它的值域 就是负二分之π 到二分之π，但是不包括两边 我们回到题目上 g的反函数的定义域是什么？ 我们看看g的反函数的定义域 它的定义域 我可以把这替换成任何实数 然后这会给我 一些在 负二分之π到二分之π之间的数 但是题目没问g的反函数的值域 其实如果那样的话题目会更有意思 题目问的是g的反函数的定义域 x可以是任意实数 所以我们选这个 g的反函数的定义域 是从负无穷到正无穷 但是咱们增加点难度 我们先确认一下是否答对 答案是对的 增加点难度 我想知道 g的反函数的值域是什么 这一部分的值域 是负二分之π到 二分之π，这是这一部分 然后我们要加上二分之三π 整个函数 的值域就是 下界加上二分之三π 等于二分之二π 也就是 二分之三π减去二分之π 等于二分之二π，也就是π 从π一直到二分之三π 加上二分之π，等于二分之四π 也就是二π g的反函数的值域就是π到2π 然后是开区间 不包含边界 但是它的定义域，你可以把x 代替成任何数