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课程 6: 用三角恒等式解决问题

三角恒等式引用

查找并理解你最喜欢的三角恒等式

倒数和商的恒等式

\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)}

\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}

\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)}

\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}

\cot (θ) = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}

\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1^{2}

\tan^{2} (θ) + 1^{2} = \sec^{2} (θ)

\cot^{2} (θ) + 1^{2} = \csc^{2} (θ)

这些都是密切相关的, 但让我们来看看每一种。

角的加减公式

\sin (θ + ϕ) = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ

\sin (θ - ϕ) = \sin θ \cos ϕ - \cos θ \sin ϕ

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

\cos (θ - ϕ) = \cos θ \cos ϕ + \sin θ \sin ϕ

下图为一种证明方法。矩形左右两边相等，所以：

\sin (θ + ϕ) = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ

上下两边也想等，所以：

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

如果你从图中的直角三角形开始, 用三角函数的直角三角形定义来向外推导, 最容易理解这个图。

类似的图可以显示角度差异标识。你能画一张吗？

(从技术上讲，这不是所有可能值的证据

θ

and

ϕ

,但是词公式可以应用于所有值)

\tan (θ + ϕ) = \frac{\tan θ + \tan ϕ}{1 - \tan θ \tan ϕ}

\tan (θ - ϕ) = \frac{\tan θ - \tan ϕ}{1 + \tan θ \tan ϕ}

下图显示了一种证明正切角度和公式的方法。

理解这一个有点棘手。这一切都是为了建立图中左上角的三角形。当您对该三角形应用正切的直角三角形定义时，您会得到：

\tan (θ + ϕ) = \frac{对边}{邻边} = \frac{\tan θ + \tan ϕ}{1 - \tan θ \tan ϕ}

如果从图表底部的段开始并使用三角函数的勾股定理向上构建，则最容易理解该图。

类似的图可以显示角度差异。你能画一张吗？

(从技术上讲，这不是所有可能值的证据

θ

and

ϕ

,但是词公式可以应用于所有值)

二倍角恒等式

\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

我们也可以推导出如下公司，但是我们需要做点变形

首先，我们把角化成同一个

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

\cos (θ + θ) = \cos θ \cos θ - \sin θ \sin θ

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ

现在我们可以利用公式

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

把右边转化为余弦的表达式

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - (1 - \cos^{2} θ)

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - 1 + \cos^{2} θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

\tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}

半角公式恒等式

\sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}

\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos θ}{2}}

\begin{aligned} \tan \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}} \\ = \frac{1 - \cos θ}{\sin θ} \\ = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ} \end{aligned}

\sin (- θ) = - \sin (θ)

\cos (- θ) = + \cos (θ)

\tan (- θ) = - \tan (θ)

\sin (θ + 2 π) = \sin (θ)

\cos (θ + 2 π) = \cos (θ)

\tan (θ + π) = \tan (θ)

\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)

\cos θ = \sin (\frac{π}{2} - θ)

\tan θ = \cot (\frac{π}{2} - θ)

\cot θ = \tan (\frac{π}{2} - θ)

\sec θ = \csc (\frac{π}{2} - θ)

\csc θ = \sec (\frac{π}{2} - θ)

使用这个活动点来查看比率的长短是怎么根据角度而变化的。

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