使用三角恒等式：等式变形

cos(2θ) = C， θ 在 0 到 π 之间， 写出 用 C 来表示 sin(θ) 的公式。 我建议你们暂停视频， 在我们一起做出答案之前， 自己找到答案。 我想你们一定都有想法了。 我们一起看看怎样做出答案。 我把题板拿出来， 我已经把问题拷贝在这里了， 我们来想一想， 题目告诉我们 cos(2θ) = C，我这样写， C = cos(2θ) ， 现在，用我们关于和角公式的知识， 我们知道，比如， cos(α + β) 等于 cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) 。 为什么它在这里有用呢？ 它就是 θ + θ 的和， 所以我可以把它 用一些 sin 和 cos 来表示，而且，或许 我们可以用 sin 来表示 cos 。 然后，求出 sin 的表达式。 我们来尝试一下。 我可以把 cos(2θ)重新写成 cos(θ+θ)，显然，它和cos(2θ） 完全相同，我可以 应用对 cos 的和角公式， 它就等于 cos(θ)乘以cos(θ) 减去 sin(θ)乘以sin(θ), 显然， 它等于 cos(θ)的平方, 减去，这里就是 sin(θ)的平方。 这样，我们来看，我们就能把 C 用 cos(θ)的平方和 sin(θ)的平方来表示了。 但是，我们要是 把它用sin(θ)来表示就更理想了， 这样我们可以解出sin(θ)。 我们是否能用sin(θ)来表示cos(θ)， 由勾股恒等式我们知道 cos(θ)的平方加上 sin(θ)的平方等于 1，或者说 cos(θ)的平方等于-- 我要在两边减去sin(θ)的平方， 等于 1-sin(θ)的平方， 我把它重写为 1-sin(θ)的平方， 然后，我们已经减去了 这个黄色的 sin(θ)的平方， 所有这些等于 C， 或者说 C 等于 1-2sin(θ)平方。 这个表达式对于我们 解出 sin(θ)很有用处， 我们来看，我可以两边乘以负号， 这样，我就可以把它俩的顺序交换， 我可以把它写成 -C = 2sin(θ)平方 减去 1，两边乘以一个负号， 然后，两边 加上 1，如果两边加上 1， 我到这里来，如果两边加1， 我就得到 1-C = 2 sin(θ)平方。 我可以两边除以2， 我就得到 sin(θ)平方 等于 （1-C ）除以 2 ， 或者我可以写成 sin(θ) 等于正负根号下 (1-C)/2。 这就引出一个问题， 两个值都是答案吗？ 正负平方根都是吗？ 还是只取一个值？ 我建议你再次暂停视频， 如果你无法确定， 看看这里的信息， 我们想一想按照给定的信息 我们应该 取正的还是负的 sin 值。 题目告诉我们，θ 在 0 和 π 之间， 这样，如果我们在这里画一个单位圆， 在 0 和 π 弧度之间 这里是 0 弧度， 而 π 就到这里了， 这个角度决定了它的终端射线。 它们都在第一或第二象限， 它可以是这样的一个角， 也可以是这样的一个角， 它不能是这样的一个角， 我们知道，一个角的正弦 是它的 y 坐标，我们还知道 在第一和第二象限， y 坐标 是非负的。 所以，我们要取正的平方根， 我们得到 sin(θ) 等于主根， 也可以认为， 它是 (1-C)/2的正平方根。 我们回到我们的 -- 我们一定要检查一下我们的答案， sin(θ)等于 (1- C)/2 的平方根， 我们做对了。