向量相加，以幅度和方向形式 (1之2)

我们来看两个向量 向量A的长度是3 这个蓝色箭头的长度是3 说到方向，它和正方向形成了一个33度的角 这应该是正的x轴 这儿我还没有把它画出来 向量B的长度是2 这个箭头的长度是2 而它和正x轴的夹角是135度 在本视频中和下一个视频中， 这取决于我们的时间， 我想解决的是 这两个向量之和的长度和方向 是什么 向量A加B的长度和方向是什么？ 我希望你暂停一下本视频 尝试着自己解决一下这个问题 在我把它解出之前 好好想一想 我要分解每个向量 得到它们的水平和垂直分量 例如，向量A可以看作是 这个水平向量 加上这个垂直向量 这个水平向量也可用另一个方式来看 这儿这个 它是单位向量I的 系数比例版 也就是某个数乘以I 而这个向量是某个数 乘以垂直方向的单位向量 垂直方向的单位向量 看起是这样的 我们看， 这是3和单位向量 对，就是这样的 J单位向量看起来是这样的，这是I单位向量 I单位向量看起来是这样的 这是它的比例放大版 这是某个数乘以I，这是某个数乘以J 这里是完全一样的道理 这是某个数乘以I单位向量 得到它的水平分量 它的垂直分量 是某个数乘以J单位向量 我们需要做的是 解出这些水平分量 和垂直分量的长度 那么我们就知道多少乘以I 以及多少乘以J 让我们想一想这个 有一点你马上会想到的是 这是一个30，60， 和90度角的三角形 这是一个30，60， 和90度角的三角形，那么这儿这个边的 长度是斜边长度的一半 也就是3的一半 也就是2分之3，这儿这个 让我用同样的颜色 这是3， 颜色不一样 这是不同的颜色 这是2分之3 而这个边的长度 是根号3 乘以这个短边的长度 也就是3乘以根号3除以2 也就是2分之3乘以根号3 注意，这结果是基于这个30，60， 和90度角的三角形 你也可以用另一个方法 你记得 学过的三角函数吧？ 你会说，“好， 我知道这儿这个角” “是30度的角， 这是它的对角边” 你可以说，“这个对角边的长度除以3” “等于sine（30度）” 我在这儿写下来 Soh cah toa sine（30度） 等于对角边的长度除以斜边的长度 除以3， 或者我们可以说对角边的长度 等于3乘以sine（30度） 如果用你的计算器来计算 sine（30度）的结果是0.5 那么在这里你得到3乘以0.5 相似的，对这个边 这是30度角的邻角边 你要用cosine，cosine是邻角边除以斜边 cosine（30度）等于 邻角边除以斜边 或者等式两边都乘以3 邻角边就等于 3乘以cosine（30度） 而cosine（30度）的值， 如果你用计算器 你会得到一个小数 而它就是2分之根号3 3乘以根号3除以2 如果你愿意的话，你可以验算这个结果 这儿我们可以看到，sine（30度）等于0.5 而cosine（30度） 你会得到一个看起来疯狂的小数 但注意，它其实就是 根号3除以2 完全一样的值 我们能够解决这个问题 只需要知道30，60， 和90度角的三角形的知识 现在对于这个三角形，你会问 “那么，角度是多少呢？” 我们知道这些角度是多少？ 看，这儿这个角度 是135度的补角 也就是45度 这是90度，那这个就是45度 这是一个45，45， 和90度角的三角形 使用三角恒等式和刚才我们这里的公式 你可以得到这个长度 等于这条斜边 乘以cosine（45度） 而这儿的这条边的长度 等于这条斜边乘以sine（45度） 用和这儿完全相同的逻辑 随着你更多的练习求解分量 你会发现，用斜边 乘以这个角度的cosine值 你会得到邻角边的长度 如果用斜边乘以这个角度的sine值 你会得到对角边的长度 但是这儿我们可以用sine（45度） 如果你把它输入计算器 你会得到一个疯狂的小数 但我们知道，对于45，45， 和90度角的三角形 sine（45度）等于2分之根号2 cosine（45度）也等于2分之根号2 我知道我这儿写的有一点乱 这儿我其实应该用绿色来写 2分之根号2 这个绿色向量的长度是多少呢？ 2乘以2分之根号2是多少？ 等于根号2 这个橙色向量的长度是多少呢？ 这是2乘以2分之根号2 也就是根号2 现在我们知道分量向量的长度 这些水平和垂直分量的长度 那么可以把它们写成 水平以及垂直向量和的形式 向量A可以写成根号3 或者3乘以根号3除以2乘以I 就是这儿这个向量 我们用3乘以根号3除以2 作为系数乘以单位向量I 加上3乘以0.5乘以J 表达式这部分对应这儿这个向量 单位向量J的系乘结果 把橙色向量加到绿色向量上 你就得到了向量A 同理，向量B等于 水平分量的长度... 这里我们要非常小心 它的长度是根号2 但是它是指向左边的 所以我们用一个负号乘以I 如果我们只是用根号2乘以I，那它是这样的 根号2乘以i是像这样的 负的根号2指向左边 这是负的根号2乘以I 然后， 正的根号2乘以J 现在我们已经把这些向量分解成了分量 我们可以解决 至少分解到分量 向量A加上向量B是怎样的 A加B 是所有这些之和 我把它写下来 是这样的，用拷贝粘贴 那个加上这个， 拷贝粘贴一下 你会得到这个 当然，我们可以化简这个表达式 我们可以把单位向量I的系数加到一起 这儿有3乘以根号3除以2乘以I 还有 负的根号2乘以I 把它们加起来 就得到 3乘以根号3除以2 减去根号2，再乘以I 接下来，把这个加到这个 我会得到加上3乘以0.5 加根号2，再乘以J 看起来有点点复杂 但是我们可以把它输入计算器 得到这两部分的近似值 基本上，我们把 A加B至少分解成了它的分量形式 下一个视频，我们会用到这点 来求解A加B的实际长度 和方向