大小和方向形式的向量加法 (2之2)

在上一个视频中 我们解决了从分量的角度来看， 向量a加b是什么的问题 这里我们可视化这个向量加法 这是向量a 粘贴向量b到这里 这有点杂乱 那是向量b 等一下，我看看能不能让这儿稍微整洁一点 让我清理一下这里 用这个橡皮擦工具 稍稍整理一下这里 这样我们能看的更清楚一点 我们关注的向量... 差不多清理好了 这个向量... 我要把这个也去掉 因为我们想可视化... 实际上，我不应该去掉这块儿 我要删掉这里 我们关注的向量a加b 是这个向量 是这里的这个向量 我们从向量a的尾部开始，到a的头部 然后把b的尾部放到那里 那么向量a的头部的位置 也是a加b的头部位置 那是这儿的这个向量 我们可以想想它的水平和垂直分量 它的垂直分量是这个向量 是这里的这个向量 也就是表达式中的这部分 它的水平分量是这个向量 是这个向量，对应表达式中的这部分 现在我想做的是求出 这个长度是多少... 让我们叫这个向量c 这样我就不用不停地写a加b 我想求出向量c的长度是多少 而且我想求出它的角度 我想求出它的方向 我想求出这个角度 我想求出这里的这个角度 让我们想一想 让我们一步步地思考 求长度实际上可能是 最简单的一个 让我把向量c重画在这里 我要写在这里 向量c像这样 向量c像那样 水平分量 它的水平分量 和它的垂直分量 它的长度 根据毕达哥拉斯定理，我们知道 水平分量长度的平方 加垂直分量长度的平方 就等于 这个向量长度的平方 考虑这个问题的另一个方法 这个向量的长度等于 这部分平方加这部分平方的平方根 这个就是... 这样写，这样我们... 嗯，这有点杂乱 我还是用计算器 算出一个合理的近似值 计算器拿出来 这个平方根 这个表达式在计算器上稍稍有点复杂 等于这个平方根 3乘以根号3除以2 除以2， 公式中这项 减去根号2 减去2的平方根 等于公式中这个数值 这个橙色部分的值 我们对它求平方 加上3除以2 3被2除 加上根号2 加上根号2，也就是公式中的绿色部分，对它取平方 当然，最后求平方和的平方根 这个等于 结果闪亮登场 3.14... 感觉好像这个结果接近Pi，但并不是 Pi可以写成3.1415而且是无限的 但这个是3.145 我把它近似地写成3.146 让我把它写下来 大约是3.146，这个向量的长度 这个结果说的通 我们知道这儿的向量a 长度是3 我们能看出来 这段比那段稍微长那么一点 甚至我们肉眼就可以看出来 那实际上和我们在这里看到的是一致的 现在我们来看方向 我们看这个角度 我不该用这个深色 让我们把这个角度记为theta 我们知道什么？ 我们知道， 嗯 我们知道这个对角边的长度是多少 而且我们知道这个邻角边的长度是多少 而且，实际上，现在我们知道这个斜边的长度 就算我们不知道这个斜边的长度 如果我们知道对角边和邻角边 我们可以用tangent 我们知道tangent theta tangent theta 等于对角边的长度除以斜边的长度 它等于这个 复制粘贴 它等于那个除以这个 除以这里的这个 复制粘贴 好了 得到了这样一个表达式 我在这里划一条线 或者我们可以说theta等于 反正切 有时也叫arc tangent 所有这部分的反正切 所有这部分 又来复制粘贴 复制粘贴到这里 让我们输入计算器，看结果是什么 让我们看一下 我们取反正切 我已经验证了在计算器的 角度模式 这里我们可以看到 这被正确地解读为30度角度 而不是30弧度 那么这个反正切 好 输入3除以2加根号2 加根号2， 然后除以分母部分 即3乘以根号3， 除以2 再减去根号2 在计算器上的运算顺序 应该是这样的， 这应该是正确的 然后完成这个括号表达式 这又完成了这个括号表达式 接下来完成这儿的括号表达式 结果出来了 我们得到了67点 应该说近似结果是67.89 那么角度theta 把它写在这里 theta是大约67.89度 我写对了吗？ 对的， 67.89度 看起来，这也应该是对的 如果看这儿这个角 用肉眼来看 它看起来比60度多一点 就这样，我们能够求出 向量和的长度和方向 还有一点 这点有意思，请记住 注意到这个长度 这个向量的长度 比向量长度之和要短 向量a的长度是3 向量b的长度是2 3加2得5 但是这段长度更短 要让向量之和的长度 完全等于向量长度之和 只有当这两个向量 指向同一方向 这样他们才能完全相加 只要它们的方向有一点点不一样 向量之和的长度就不等于向量长度之和 它就会比向量长度之和要短 在下一个视频中， 我会深入地讨论这个问题