矢量相加与大小

我们有三个矢量， 矢量 a，b，和 c， 矢量 a 加 矢量 b 等于矢量 c 。 根据这个定义，我有几个有趣的问题。 你是否可以得到结论 矢量 c 的幅值 等于矢量 a 的幅值加上矢量 b 的幅值？ 还有，你是否可以用可能的不同的矢量 a 和 b, 得到一个结论， 矢量 c 的幅值 大于矢量 a 的幅值加上矢量 b 的幅值？ 我建议你们暂停视频， 试着去考虑这些说法。 你可以用几个矢量 a 和 b, 看看当你把它们相加， 它们的和的幅值是否能等于幅值的和。 再看看你是否能用某些矢量 a 和 b ， 当你求这两个矢量的和时， 它的幅值能够大于矢量幅值的和。 看看，你能做到吗？ 我想你们一定试着做了。 你们很可能遇到些困难， 特别是第二个问题。 唯一的方法就是--我们画出几个矢量， 如果你有一个矢量 a 是这样， 矢量 b 是这样， 然后 a 加 b ， 我们可以把它平移过来，拷贝，粘贴， a 加 b 就是这样的， a 加 b，或者说 c 就应该是这样的。 请注意，这三个矢量总会形成一个三角形。 如果你有一个三角形，一条边 不能比另外两条边的的和更长。 想一想， 如果你想让这条边更长， 你能做得就是改变 b 你可以把它向外推， 你如果把矢量 b 改变一下， 你能够让 c 越来越长， 如果你让矢量 b 成为这样， 或者矢量 b 成为这样， 这时，矢量 c 变得相当长， 但是它还是比这两条边的和要短， 要想让它等于这两条边的和， 你需要 让着两个矢量方向完全相同。 要让它们相等，你必须让矢量 a 这样， 你需要改变 b 的方向， 或者构造一个矢量 b 使它指向完全相同的方向， 只有在这种情况下，你才能得到这个结论， 即矢量 c 的幅值等于 a 加 b 的幅值。 实际上，矢量和的最大的幅值 可以是幅值的和， 这只有当这两个矢量在同一方向时发生。 它们的方向完全相同。 像这样的矢量相加，不可能得到上述结论。 根据我们刚才看到的，你永远不会得到一个三角形的一条边 能够比其他两条边的和更长。 你或许会说，是不是会有 矢量和的幅值小于 幅值的和的情况呢？ 我可以说，这是相当典型的， 几乎总是这样的。 绝大多数情况都是如此。 当矢量不在同一方向的时候都是这样。 如果有人画一个这样的矢量， 我把它画得更直些， 如果有人画一个这样的矢量， 另一个矢量是这样的，这两个矢量不在同一方向， 那么这两个矢量的和， 它的幅值就会小于 这两个幅值的和。 比如这个矢量的幅值是 5 ， 而这个幅值是 3 ，那么，我们就知道 如果我们把它两个相加， 我来给你们演示一下， 拷贝粘贴， 我们可以剪切，粘贴， 这样可以让版面干净些， 剪切粘贴， 我们把这两个矢量相加， 这两个矢量的和， 就是这里这个矢量， 它的幅值会小于 5+3， 它会小于 8。 要使得它的幅值等于 8 的唯一的方式 就是这两个矢量指向完全相同的方向。