向量应用题：徒步旅行

凯塔三天前离开宿营地， 前往丛林进行徒步探险 这三天的旅程可以用 位移向量（距离和方向）来描述 位移向量 位移就是在某个方向的某个距离 向量为 d1，d2，d3 如下所列 距离的单位是千米 三天结束后，凯塔离宿营地有多远呢？ 我们先看看发生了什么 第一天，这里是他的出发点 他的位移，他从这出发走到那里 如果分解来看 如果你假定方向为—— 我画个指南针 假设这是北 这是东 这是西，这是南 这一天的位移可以分解为 他向东走了多远 同时向北走了多远 所以，他是向东走了七格 一，二，三，四，五，六，七 向东走了七格 并且还向北走了八格 一，二，三，四，五，六，七，八 就像这样 这是 7，这是 8 然后第二天，他走了六格 单位是千米 向东六千米 一，二，三，四，五，六 并且向北走了二千米，一，二 那么他是走到这里了 这是 6，这是 2 然后第三天，位移的向东分量为 2 位移的向北分量是 9 我们要算出从宿营地 到第三天结束后他走了多远， 也就是他的总位移是多少 它们加和在一起的向量的大小是多少？ 也就是这个向量的长度是多少？ 把它记作总位移向量 dt d 是位移，t 是总的，总位移 你可以看到它是怎么组成的 总位移向量等于 d1 加上 我用各自的颜色 它等于 d1，d2，d3 的和 要把这些向量加起来 就是要把相应的分量加起来 也就是说，总位移等于 水平方向的总和 应该说是向东方向的位移之和 它等于 7 加 6 加 2 然后是向北方向的位移 8 加 6，哦错了，是 8 加 2 加 9 所以总位移向量 我们也写成这种格式 它等于，这里是 13 加 2 它等于向东 15 或者说位移的向东分量是 15 向北分量是 10 加 9，是 19 就是这个向量 这是 15，向东分量是 15 然后向北是 19 画的清楚些 这个长度 把它看作三角形 这条边就是 19 它就是向北方向的总位移 然后向东方向的总位移是 15 那么，总位移向量的长度是多少？ 或者问总位移向量的大小是多少？ 总位移的大小等于 用勾股定理 这是直角三角形 15 平方加 19 平方等于 这个大小的平方 也就是说，这个大小等于 根号下 15 的平方加 19 的平方 加 19 的平方 我们把计算器拿出来 好，它等于根号下 15 的平方加 19 的平方，24 我看看，要求是保留一位小数 24.2 答案是 24.2 千米 然后第二问 凯塔三天后在宿营地的什么方向？ 单位是度，保留到整数 答案在 0 到 180 度之间 说方向角度，一般指的是 题目应该说得更精确些 少点歧义 一般来说，如果考虑坐标系的话 这个方向角度 从 x 轴正方向开始 也可以说是从正东方向开始 它指的是这个角度 我们记为 θ 我们怎么计算 θ？ 它是直角三角形的一个角 我们知道这个边长是 19 这个边长是 15 我们知道了 θ 的对边和邻边 对边和邻边的关系是哪个三角函数？ 正切函数表示对边和邻边的关系 可以写为， tan θ 等于 19/15 它等于对边除以邻边，19/15 如何解出 θ θ 就是我们要的角度 只要计算反正切， 就可以解出 θ 的大小 但通常来说，反正切函数的结果 是在正负 π/2 之间 这是弧度 如果是角度 它的结果会在正负 90 度之间 而这个角显然在其中 这个角就在 0 到 90 度之间 所以我们做反正切运算 结果肯定没错 不然的话，就需要做调整 那么 θ 就等于 19/15 的反正切 它就等于，我要用计算器 我们确认一下是不是 没错，是角度模式 我们来计算 19/15 的反正切 它等于 我看看，题目要求保留到整数 所以四舍五入之后是 52 度 52 度，在这个图里看到，差不多大小 比 45 度略大一些 52 度这个答案看来没问题 搞定