向量应用题：拔河比赛

三支队伍 A、B、C， 参加三角拔河比赛 每支队伍的拔河绳都连接到中间的金属环上 把金属环拉进自己队的区域就算胜利 各队区域如下图所示 我们看看图…… 我们看到，A 队是向这个方向拉 B 队向这个方向拉 C 队向这个方向拉绳子 他们的目标是把金属环拉进对应的区域 这就是三角拔河 题目中说，A 队的拉力向量 a 为 4 乘以单位向量 i 加 0j 这是 4 乘以 i，然后没有竖直分量 所以它就是朝着 x 的正方向 可以这么说 你在图里可以看到 A 向着 x 的正方向 所以是单位向量 i 的倍数 B 队拉力向量是 -2i 加上 4j，所以是向着左上方 我们看到是 -2i 加 4j 然后是 C 队的拉力向量 -3i 减 3j 我们看，-3i 减 3j 看来图画的挺准确 力的单位是千牛顿，好 哪个队会赢？ 想一想哪个队会赢 你可能这么想 哪个队在自己方向上的力最大就赢 调出我的演算本 我们来看每个向量的大小 我们先考虑向量 a 的大小 它等于什么？ 它等于 4 乘以单位向量 i， 所以它的大小就是 4 单位向量 i 的大小是 1 所以是它的 4 倍大 它的大小就是 4 写上单位，4 千牛顿 向量 b 的大小呢？ 我们用勾股定理 它是 -2i 加 4j 它大小的平方等于 -2 的平方加 4 平方 这实际上就是勾股定理 向量 b 的大小等于 根号下 -2 的平方加 4 的平方 除了用勾股定理思考 也可以看作是原点到那个点的距离 加上 4 的平方，也就是 4 加 16 根号 20 我看看，它肯定比 4 大 4 的平方是 16 这是 4 和 5 之间的一个数 我们来看 C 队 计算向量 C 的大小，同样的逻辑 等于根号 -3 的平方加 -3 的平方 就等于……我们看，这是根号下 18，9 加 9 等于 18 18 的平方根 20 的平方根显然大于 18 的平方根 我们也知道 20 的平方根大于 4 所以 B 队会胜利 哪只队伍会赢？ B 队，我们来把这个结论填进去…… B 队会赢得比赛 下一个问题是 所有队伍的合力 也就是金属环上受到的合力，大小是多少？ 我们可以把所有的向量加起来 合力，我这样写 我们说合力，它是一个向量 等于向量 a、b、c 的和 它就等于 4i 加 0j 减 2i 加 4j，减 3i 减 3j 我们把 i 项和 j 项分别加起来 这有 4i 减 2i 减 3i 4 个东西减去 2 个 还剩 2 个 然后再减 3 等于 -1 所以就等于负的 我可以写 -1i，也可以直接写 -i 然后是 0j 加 4j 减 3j 也就是 0 加 4 减 3 就等于 1j 或者直接写加 j 因此，求和结果是向量 -i 加 j 大概是这样 -i 加上 j，它表示一个这样的向量 我画得大一些 我先画出坐标轴 这是 y 轴，这是 x 轴， 这是 -1 乘以 i，所以应该是这样， 这就是 -i 这里就是 -i -i，我写下来 它是 -i 加 j 加上单位向量 j，大概是这个样子 大小都是 1 这是单位向量 j 它俩的和就是我们的合力 所以，合力是在这个方向 这是它的大小 这个长度就是它的大小 合力就是向着这个方向 所以最终金属环会到 B 区域 题目中问，各队的合力大小是多少？ 大小在这个方向上是 1 这是单位向量，只不过是向左 在这个方向上也是 1 所以这个边的大小 由勾股定理 它等于根号 1 平方加 1 平方 也就等于根号 2 所以 各队合力的大小 等于根号 2 金属环被拉到哪个方向？ 我先把上面的空填好 原题是这么问的…… 各队在金属环上合力的大小是多少？ 四舍五入到十分位 计算一下根号 2 根号 2 等于 四舍五入到十分位，是 1.4 千牛顿 金属环被拉向什么方向？ 要我们填弧度 也是四舍五入到十分位 答案应该在 0 到 2π 之间 回到我们的计算 我们要计算出这个角度的大小 这个角度的大小，用弧度表示 我们知道这整个角度 从 x 轴正方向 一直到 x 轴负方向，整个弧度是 π 我们也能算出这个角的大小 怎么计算呢？ 只需要构造一个…… 注意这是直角 而这是等腰三角形 等腰直角三角形 所以三个角是 45，45，90 但如果用弧度 45 度就是 π/4 这是 π/4，这也是 π/4 这是 π/2 也就是 45，45，90 这个紫色的角整个是 π 这是 π/4 π 减 π/4 就能求出 θ 角的大小 θ 等于…… π 就等于 4π/4 减去 π/4 这就算是通分了 它等于 3π/4 3π/4 弧度 我们回来 题目要求四舍五入到十分位 我们计算 3π 除以…… 这样你能看清楚计算过程， 3π 除以 4 等于 2.356，四舍五入到十分位， 就是 2.4 弧度 约等于 2.4 弧度，没错，正确