向量应用题：推箱子

我们有两个老乡 在雪中一起试图把一个箱子推到目标地点， 这里就是这个箱子， 这是目的地，就在这里。 我写出来，这是目的地。 这是它们想要箱子到达的地点。 老乡 a，因为某种原因， 他不能从箱子的正后方来推它， 或许因为那里不好放脚， 或者，我猜想如果他从那里推， 箱子会被挤扁，所以 老乡 a 必须得在 与目标不完全相同的方向推， 看起来是这样的。 我把这个矢量画出来， 表示他施加的力， 这就是他们的力的矢量， 这是老乡 a 的力矢量， 这是老乡 a 的力矢量， 我们知道这个矢量的长度， 或者说 矢量 a 的幅值是 330 牛顿，330 牛顿， 再来看老乡 b ，又是这样， 因为他不能在指向目标的准确方向 推动箱子， 或许因为箱子的那个部位太软了， 老乡 b 在这个角度推箱子， 所以，这里的这个矢量 就是 b 推箱子的力， 这个力的幅值 b 推力矢量的幅值是300 牛顿。 我们知道它们与 目标方向之间的夹角。 如果这是目标方向， 我们知道，这是 35度角， 我们知道这是 15度角， 现在我想请你们暂停视频， 想一想每一个力 有多少可以施加在 让箱子移向目标的方向上？ 然后，实际上谁在目标方向施加的力更多？ 我们看到， a 用的全部的力 在这个方向的幅值 比 b 在这个方向的幅值更高。 330牛顿比300牛顿。 但是谁对箱子在这个方向的移动帮助更多呢？ 多多少呢？ 还有把箱子移向这个方向的 总的力是多少呢？ 我想你们已经有所考虑了。 这里，关键是找出 每个矢量的分量， 每个矢量在这个方向的幅值， 在指向目的地的方向上的幅值。 我们先来看矢量 a， 矢量 a 是这样的， 我把它们分别画出来，可以更清楚些。 矢量 a 是这样的， 我们知道它的幅值，矢量 a 的幅值 等于 330 牛顿， 如果我们说，目标是在这个方向， 也就是说，目标是在这个位置， 我们已知这是35度角， 我们要做的就是这个分量， 这个分量的幅值， 指向这个方向的分量的幅值。 我们可以 应用我们的三角函数知识。 这是一个直角三角形， 我们要求这个边， 我们有，--我们叫它 a 下标 x ， 我们已经知道 a 的幅值 是 330 牛顿，那么这个幅值-- 我们说这个幅值-- 让我这样写，不至于搞混了， 这个矢量 在 x 方向的幅值，就是这里这个矢量， 我们把它写成这样， 它的幅值， 我们把它写出来，没有矢量标记。 我们怎样理解它呢？ 我们知道余弦是邻边除以斜边， 我们可以写出 cos(35度) 等于 邻边的长度-- 它只是 a 下标 x，没有矢量标记， 也就是说， 矢量的 a 下标 x 的幅值，除以矢量 a 的幅值， 除以 330 牛顿，或者我们可以说， a 下标 x 等于 330 乘以 cos(35度）， 我们可以对 b 做同样的解析。 矢量 b ，我把它画成这样， 矢量 b 你可以--要不我把它画成这样， 只是想让它 有些不一样。 如果这是目标方向， 还是这样，我画一个水平线， 相对于它， 矢量 b 看起来是这样的。 矢量 b 是这样的。 这是矢量 b ， 矢量 b 下标 x ，在目标方向-- 我们在这里画一个直角， 它就是 矢量 b 下标 x， 而矢量 b下标 x 的幅值等于什么呢？ 我们说，矢量 b 下标 x 的幅值， 我们叫它 b 下标 x ，没有矢量标记， 和前面相同的逻辑， 这是 15 度， cos(15度) 等于邻边的长度 除以斜边的长度。 我们已经知道， 斜边的长度是 300 牛顿， 所以，我们可以写， cos(15度) 等于 b 下标 x ，邻边的长度， 除以斜边的长度。 或者说， b 下标 x 等于 300 乘以 cos(15度)。 我们把计算器拿出来， 我们来计算一下， 我们有 330 乘以 cos(35度)，我们得到 270 牛顿， 因此 a 下标 x 是 270 牛顿， b 下标 x 是 300 乘以 cos(15度)， 我们得到 289.777，我们看到， 尽管 b 的幅值 比 a 的幅值小，矢量 b 在目标方向上的分量 实际上大于矢量 a 在这个方向的分量。 如果我们把它圆整到最接近的牛顿数， 这个矢量的幅值， b下标 x 就是 如果我们把它圆整到最接近的牛顿数，就是290 牛顿。 这个长度是近似的 290 牛顿， 或者，你可以说幅值。 这个比较短一点， 稍微短一点， 如果把它圆整到最接近的牛顿数， 就是 270 牛顿。 它的长度是近似的270 牛顿。 所以，如果你想说老乡 b 在我们关心的方向，他多施加了多少力呢？ 它就是 如果我们想更精确一点， 我们就把它两个相减， 我们可以计算300cos(15度) - 330cos(35度）， 我们得到大约 19.5 牛顿的差别。 蓝色，老乡b 比老乡 a 在目标方向贡献的力， 多 19.5 牛顿。 如果我们要说 在这个边方向的总的合力是多少， 我们就把这两者相加。 在这个方向的合力 就是 560 牛顿。 这是我们圆整到最接近的牛顿数。 如果我们把蓝色的 和洋红色的分量加起来， 你就得到它，就是 560 牛顿。 这里整个矢量，它的幅值-- 我可以写成 a下标 x 加上 b 下标 x 的幅值， 也就是 a 下标 x 加上 b 下标 x -- 我说过，它们与每个矢量的幅值等价。 我可以写出，它近似地等于 560 牛顿。