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主要内容

复习向量的大小和方向

复习你对向量大小和方向的知识,并使用它们来解决问题。
向量 (a,b)的大小
∣∣(a,b)∣∣=a2+b2
向量 (a,b)的方向
θ=tan1(ba)
大小为 ∣∣u∣∣ 方向为 θ的组合
(∣∣u∣∣cos(θ),∣∣u∣∣sin(θ))

什么是向量的大小和方向?

我们习惯于用 组合形式描述向量。 比如, (3,4)。我们可以通过在平面坐标中从原点画一条有方向的线段,来对应该向量的组合元素:
除此之外,还有一种可以用图形方式唯一地表示向量的方法— 向量的 大小方向
向量的 大小 给定了线段的长度,而向量的 方向 则给定了该线段与正 x-轴的夹角。
向量 v 的大小通常写为 ||v||
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练习类别 1:根据分矢量求出向量大小

根据分矢量求出向量的大小,方法是先求出分矢量的平方和,再开方(这是勾股定理的直接应用)
||(a,b)||=a2+b2
例如,向量 (3,4) 的大小为 32+42=25=5
问题1.1
u=(1,7)
||u||=

可以用平方根表达式,也可以用小数表示,保留两位小数

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练习类别 2:根据分矢量求出向量方向

为了根据分矢量中找到向量的方向,我们需要计算分矢量的反正切值:
θ=tan1(ba)
向量和 x轴形成直角三角形,可以使用三角函数。

示例 1:象限 I

让我们找到 向量(34) 的方向:
tan1(43)53

示例 2: 象限 IV

让我们找到 向量(34) 的方向:
tan1(43)53
计算器给出的结果是一个负数角度,但通常都使用正值表示向量的方向,所以我们要在此结果上加 360
53+360=307

示例 3: 象限 II

我们来计算一下向量 (3,4)的方向。注意 (3,4) 是位于象限 II
tan1(43)53
53 位于象限 IV,不是象限 II。因此,我们得加上 180 ,得到相反方向的角:
53+180=127
问题2.1
u=5i^+8j^
θ=
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

答案请用在 0360 之间的度数表示,保留两位小数

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练习类别 3:根据向量的大小和方向求出分矢量

要根据向量的大小和方向找到分矢量,我们要讲向量的大小值乘以向量角度的正弦或余弦:
u=(||u||cos(θ),||u||sin(θ))
向量和 x轴形成直角三角形,可以使用三角函数。
例如,对于大小为 2 以及角度为 30的向量,它的分矢量为:
(2cos(30),2sin(30))=(3,1)
问题3.1
u( 
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
 ,
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
)
只保留两位小数。

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