来自分量的向量方向：第一象限和第二象限

我们在这视频里要 去观察一系列的向量，而且我们 会以标准形式绘制它们，它们的初始点 或者尾巴都会在原点 我们要看我们是否能算出 它们形成的角度 还有它们与正x轴形成的正角度 和往常一样，暂停这个视频 看一下你是否能算出θ 只靠自己 以度数计算出来 这第一个里，我们有向量U 假如我们用单位向量记号写下它 有时候这被称之为工程记号 我们会说这是3乘以水平单位向量 i单位向量 加4乘以垂直单位向量 或者你也可以把这个看作x分量是3 y分量是4，就在这 假设你从原点出发，我们移动3步 在水平方向，然后我们继续移动 4步在垂直方向 要计算出θ 其实有很多种办法 我们可以构造一个直角三角形 特别为这道题 我们可以说x坐标是3 假若我们要在这创造一个直角三角形 这边的长度会是3 然后高度是4 或者y坐标是4 所以这边的长度是4 我们甚至从三角函数的基本 SOHCAHTOA 定义中就知道，哪个三角函数 涉及角的对边？ 角的对边... 和角的邻边呢？ 当然是正切(Tangent)啦 SOHCAHTOA 所以我们知道θ的正切 会等于对边的长度 长度是4，分之 邻边的长度，长度是3 如果我们想解出θ 我们就可以直接说θ等于 反向正切 有时候人们也会称呼为反正切 4/3，4分之... 4分之3，我们来估算一下 我会拿出我的计算机来算数 我想让四除以三 等于那串数字，然后我早就按了 这边的这个按钮会让我的 正切变成反正切 我想要这串数字的反正切 然后我得到了大约53.1度 所以这只是大概 53.1度，看起来很像 这看起来会多一点，虽然 我没有绘制得超级精准 我纯用手画的 这看起来比45度角要多一点 所以这感觉，感觉还挺好的 你或许可能又会讲 “嘿，你看 4是y分量 3是x分量，所以θ的正切 会永远是 y分量分之x分量“ 这，事实上，确实是对的 这实际上直接来自 三角函数的单位圆定义 在这其中你可以说如果你有 一个单位圆，如果你有，我可以画在这里 让我把坐标画下 如果我要在这里画一个单位圆 如果我有一些线条 我们在这里要想到向量 与正x轴形成的角度 那个角的正切，θ的正切 它将是y坐标 我们与圆相交的地方，分之x坐标 你可以想象一下假若你画了 一个单位圆在这里，如果你画了个单位圆 在这里，这个圆点的y坐标和 x坐标之间的比例 我们与圆相交的地方会 等同于4/3的比例 这会是... 这也会是 1又1/3或者4/3 无论哪种你可以想到的方法，当你想到 向量，它和正x轴 形成的角的正切会是 会是y分量分之x分量 所有的知识碎片都能融为一体，这感觉很美妙 让我们用这个来弄清楚 来弄清楚这个角 我们可以说θ的正切 会等于y分量 y分量分之x分量 除以，用另外一种颜色 分之负5 所以这会是负6/5 或者我们可以说θ 让我们小心一点 我们可以说... 我们可以说θ 等于... 等于反正切 让我用一样的颜色写下它 反正切，我就这样写了吧 负6/5，不过我会在这里放个小问号 让我们来感觉一下这个答案对不对 等我们算出来之后 所以，就那样做吧 假设我们... 假设我们让6除以5 等于那个数字 然后我们想让它变成负数 所以这就是负6/5 然后我们用上负正切 我已经按过这个按钮了 这就会是负正切，而不是正切 我得到了负，大约负50.2度 所以这大约是负50.2度 这看起来对吗？ 不 θ看起来超过了90度 负50.2度... 负50.2度 其实是这边的角度 它的意思是，它就是在 指定另一个向量，如果你想到了一条线 另一条有着相同正切的线 相同的正切 所以把这个具像化真的很重要 想想看吧，然后这个的原因 是因为反正切或者反向正切函数 在计算机里，它们会给你一个 在负90度和 正90度之间的角 所以是在第四象限或第一象限的东西 可是这儿，我们的东西在第二象限 所以我们需要确保我们的想法是正确的 我们可以做出一些恰当的修改 尤其是当我们在看到 一条像这样的线或者向量 为了找出... 为了找出 正确的角度，我们需要 加上180度 最后就得到了一个反方向的向量 所以你要加上，θ等于 或者我可以说大致等于 负50.2度加180度 就那样做吧 先让我加上180度等于 大约129.8度 所以θ等于大约129.8度 我对了吗？ 我的记忆很短暂 啊，那是对的 129.8度，这看上去就好多了 这看上去肯定就是我们在找的角度 这是90度 然后我们在90度之上 现在你也可以考虑另一种方式 用上你从 SOHCAHTOA 和直角三角形中了解到的信息 我们可以构造一个直角三角形 用上一些颜色 我们知道... 我可能可以这样画 这是它的高度，高度是多少？ 高度会是6 然后就是地基，这里的地基 它的长度是多少呢？ 我们知道它是从原点出发 我们倒退5步，不过我们需要取绝对值 这条线的长度 会是5 所以我们只需要用上直角三角形就能弄明白 我们可以称呼这个为x， 我们可以说这个x的正切... x的正切 等于6分之5，对边分之邻边 6分之5 或者那个x，又或是你可以说 x等于6/5的反正切 这会等于什么呢？ 假如我们让6除以5，1.2 然后我们在那个数字上运用反正切 我们得到了一个大约50.2度 所以x大约是50.2度 看起来很正确 不过要记住，我们要找的不是x 我们要找的是... 我们要找的是θ θ是什么，你也可以看见x和θ是 互相补充的 所以θ加x等于180或者 θ等于180减去那个 180减去那个 让我们在前面加上一个负号 然后加上180，这看起来很熟悉 我们得到了129，大约129.8度 这正是我们之前得到的