单位矢量介绍

我们可以用带箭头的线来表示向量 我们可以用带箭头的线来表示向量 用长度表示向量的大小 用箭头的方向表示向量的方向 如果我们想用代数表示向量 我们这样想 从向量底端（箭头的尾） 多远才到向量顶端（箭头的头） 横轴多远？纵轴多远？ 举例画一下 横轴方向上，是走这段距离 纵轴方向上 是走这段距离 我来换个不一样的颜色吧 纵轴要走这段 我们就假设这段是2 这段是3 为了表达这个向量 我们叫它向量 v 吧 向量 v 就是个列向量，或叫 二元向量 我们在横轴方向上移动了2 纵轴方向上移动了3 所以可以这样用中括号表示，还可以 所以可以这样用中括号表示，还可以 用小括号，里面写 2 逗号 3，（2，3） 现在我想讲 我们可以提出另一种表达法，来表示这个二元向量 我们可以提出另一种表达法，来表示这个二元向量 这种表达法又是什么思路呢 就是向量的相加和缩放 为了讲明白这里 我们先要定义一下单位向量（Unit vector） 在二维空间里 定义单位向量，要有两个数值 定义单位向量，要有两个数值 如果在三维空间里 定义单位向量，要有三个数值 我们来写一下 定义一个单位向量 i 单位向量的表示方法，不是在头上画箭头了 单位向量的表示方法，不是在头上画箭头了 而是在头上加个小帽子 而是在头上加个小帽子 如果按这种中括号表达法 它就是在横轴方向上只移动1 而纵轴方向上完全不动 在图上画出来就应该是这样的 这就是单位向量 i 我们还可以定义另外一个单位向量 我们还可以定义另外一个单位向量 通常定义为 j 这是只在纵轴方向上移动 而横轴方向上不动 而横轴方向上不动 纵轴方向上只移动1 所以，i 是在横轴移动1 j 是在纵轴移动1 画图表示就是这样 现在，二维空间的任何一个向量 我们都可以用 向量 i 和 j 的 缩小放大并相加 来表示了 你一定想问，怎么表示的啊？ 来，咱们假设向量 v 在这里 它是由2个向量相加得到的 一个只在横轴方向上，长度为2 另一个只在纵轴方向上 长度为3 我们写一下 我换成和图形一样的蓝色 向量 v 等于 这里是只在横轴移动的，长度为2 那就需要把向量 i 放大为2倍 那就需要把向量 i 放大为2倍 记为：等于2倍的单位向量 i 也就是用 2i 表示这段 也就是用 2i 表示这段 我把它都涂成这个黄色的 这个向量就是 2i 了 然后还要再加上3倍的 j 然后还要再加上3倍的 j 3 乘以 j，我再换成这个颜色 3 乘以 j，我再换成这个颜色 再看一下，3倍的 j 就是这一个向量了 再看一下，3倍的 j 就是这一个向量了 如果把 黄色向量+粉红色向量 如果把 黄色向量+粉红色向量 注意：我们是把粉红色向量的底端（尾） 加到黄色向量的顶端（头）的 从黄色向量的底端（尾）开始 就能一直走到粉红色向量的顶端（头） 这样就构建出了向量 v 所以向量 v 可以表示为这样 中括号2、3的一列数 也可以表示为小括号这样 （2，3） 还可以表示为 2i + 3j ，还有字母上面这个小帽子 还可以表示为 2i + 3j ，还有字母上面这个小帽子 i 是指横轴上的单位向量，是正数值的方向 i 是指横轴上的单位向量，是正数值的方向 如果方向相反，就要乘以一个负数 如果方向相反，就要乘以一个负数 j 是指纵轴上的单位向量 如果你之后看讲解三维空间的视频，还会见到 k 如果你之后看讲解三维空间的视频，还会见到 k 现在这两种表达法，可以很自然的互相转换 现在这两种表达法，可以很自然的互相转换 这里 2、3对应这个 2、3 用这种表达法还可以进行向量运算 用这种表达法还可以进行向量运算 比方说，我定义另外一个向量 b 比方说，我定义另外一个向量 b。 向量b等于 我给它赋个数值 向量 b 等于 -1（负1）倍的 i 加上 4倍的 j ，b= -1i +4j 向量 b 等于 -1（负1）倍的 i 加上 4倍的 j ，b= -1i +4j 现在2个向量， v 和 b ，都定义好了 那么向量运算 v + b =？ 我建议大家暂停视频，思考一下 好了，向量加法 其实就是 对应值的加法 好了，向量加法 其实就是 对应值的加法 好了，向量加法 其实就是 对应值的加法 我们先看横轴方向的部分 v 这里是2，b 这里是 -1 v 这里是2，b 这里是 -1 那么 v+b 的横轴就是2加上 -1（负1），2+(-1) 那么 v+b 的横轴就是2加上 -1（负1），2+(-1) 那么 v+b 的横轴就是2加上 -1（负1），2+(-1) 用这个值乘以单位向量 i 再看纵轴，也是一样的 v+b 的纵轴就是3 加上4，3+4 v+b 的纵轴就是3 加上4，3+4 v+b 的纵轴就是3 加上4，3+4 用这个值乘以单位向量 j 这样马上就可以算出来了 我来用同一个颜色，2+(-1)=1，1再乘以 i 我来用同一个颜色，2+(-1)=1，1再乘以 i 1i 就可以省略1，直接写为 i 了 1i 就可以省略1，直接写为 i 了 但实际上我们是用2加-1得到的1 1乘以向量等于向量自己 再加上这里呢， 3+4=7，就是 7j 其实换回刚才第一种，中括号表达法，也是一样的 其实换回刚才第一种，中括号表达法，也是一样的 其实换回刚才第一种，中括号表达法，也是一样的 我们可以把向量 b 写成这样，中括号 -1、4 那么计算 v+b ，也是对应值相加 那么计算 v+b ，也是对应值相加 v+b=？ 我也写成中括号的格式 v+b=？ 我也写成中括号的格式 那这里是 2+(-1) =1 3+4=7 这两种表达法计算之后完全一样 这是单位向量表达法 这是列向量表达法（中括号表达）