用代数和图表方法进行向量相加

我现在有两个二维向量， 就在这里，向量a和向量b。 我在想，我们怎么定义 或者什么是合理的方式 去定义向量a加上向量b的和？ 嗯，你可能想到一个主意， 看，这两个向量都是二维的。 它们都有两个数字。 我们为什么不把对应的数字加起来呢？ 所以，为了求和，我们为什么不使两者的和的第一数字 正好是这两个向量的 第一个数字的和 所以我们为什么不让6加上-4呢？ 嗯，6加上-4等于2。 并且，为什么不使两者的和的第二个数字 等于两个向量的第二个数字的和？ 所以是-2加上4也等于2。 所以我们开始的时候是两个二维的向量。 你把它们加在一起，你得到 另一个二维向量。 如果你从实数坐标空间方面考虑这一点， 两者都是属于R^2空间的。 我把它写在这儿，我们要熟悉这个符号。 所以向量a和向量b都属于R^2， 这只是说它们都有两个数字 的另一种说法。 他们都是二维向量，就在这儿。 现在，看看我们将如何表示它，或许能更好理解。 但是这该如何获得 直观或者感性的认识呢？ 为了做到这一点，让我们如实地画出这些向量吧。 让我们用某种方式来表示这些向量。 让我们将他们形象化。 所以向量a，我们能视觉化，它告诉我们 这个向量将移动多远 在水平方向上， 和竖直方向上。 所以，如果我们把它画上去，我猜 你会说向量的箭尾在原点，记住！ 我们不需要把向量的箭尾放在原点， 但这么做，可以使我们画起来更容易些。 我们需要在水平方向上走6个单位。 1，2，3，4，5，6. 以及在竖直方向上走-2个单位。 所以是-2. 所以向量a可能看起来是这样。 向量a看起来是这样。 再来一次，重要的是： 向量的长度和方向。 长度是表示这个向量的长度。 方向是 它所指向的方向。 并且为了强调这一点，我也可以把向量a 画出这样，或者我把它放在这儿。 这些向量都是等价的。 这些都等于向量a。 我真正关心的只有长度和方向。 请牢记这一点，让我们把向量b也画出来， 向量b在水平方向上走-4个单位，1， 2，3，4，并且在竖直方向上走4个单位，1，2，3，4. 所以如果我们把它的箭尾放在原点， 如果它的尾巴在原点，它的箭头 将在-4，4。 所以让我把它画出来，想这样。 所以在这儿的是向量b。 再来一次，向量b，我们也能将它画成这样， 或者我们能这么画，让我先复制它，再粘贴它， 所以这是画出向量b的另一种方法， 再说一次，我们真正需要关心的是 它的大小和它的方向。 所有这些绿色的向量都有着相同的大小。 它们也有着相同的长度，并且它们都有 相同的方向。 所以怎样才能画出向量a和向量b 并得到它们的和呢？ 让我画出它们的和，像这样。 让我用蓝色的笔画出它们的和。 所以两者的和也是基于我们刚才说过的定义， 向量相加得到2，2。 所以是2，2。 所以它看起来将是这样。 所以该怎么解释这个和向量， 也就是，这个紫色的向量加上这个绿色的向量 是怎么等于这个蓝色的向量的？ 我建议你暂停视频， 自己想想如何解释。 好的，一种思考方式是，第一个紫色的向量， 它将我们平移了这么多。 它将我们从这一点带到另一点。 所以，如果我们再加点什么，我们应该从这一点开始， 把绿色的向量的尾巴放在那儿， 然后看看它将把我们放在哪儿？也就是它的终点在哪？ 绿色的向量，我们已经画过它了， 所以再来一次，我们从原点开始， 向量a带我们到那儿。 现在，让我们把绿色向量的起点放在那儿， 然后看看绿色的向量会把我们带到哪儿？ 这能解释。 向量a加向量b。 把向量b的箭尾放在向量a的箭头上， 所以，如果你从原点开始， 向量a将带你到那儿，这时， 如果你加上向量b,它将带你到那儿。 所以相对于原点，你移动了多少？ 我想你能得出来， 现在再来一次，向量不仅 可以用于表示位移， 也能用于表示速度。 它能用于表示实际的加速度。 它能用于表示一系列的东西， 但当你这样把它视觉化时， 你会看到这完全合理。 这个蓝色的向量，两个向量的和， 是一个结果：从向量a的起点开始， 向量a带你移动到那儿的一点，就在那儿。 然后你从向量b的箭尾开始， 它带着你到两者的和的终点。 你现在可能已经有了一个疑问， 向量a加上向量b是这个，那么 向量b加上向量a是什么？ 也能这样解释吗？ 好的，基于我们已有的定义， 也就是你将对应的位置的数字相加， 你将得到一样的向量的和。 所以它应该得到相同的结果。 所以这将是-4加上6等于2。 4加上-2等于2. 但是，这能从图像上解释吗？ 所以，如果我们从向量b开始， 所以让我们约定，你从这儿开始。 向量b带你到那儿。 然后，如果你到了那儿， 你将从向量a开始，让我们这么画。 实际上，让我做一点改动， 让我从一个新的向量b开始， 所以，让我们约定，那是我们的向量b，就在那儿。 然后，实际上，让我先给这个向量a 找个能画得下的空白位置。 让我们约定，那个是我的向量b，就在那儿。 然后，让我复制一个向量a。 那个向量a就不错。 所以复制它，然后粘贴它。 所以我要把向量a的箭尾放在向量b的箭头上， 然后，它将带我到那儿。 所以，如果我从这儿开始，向量b带我到那儿。 现在我再把向量a加上，从这儿开始， 将带我到那儿。 所以从最初的位置开始，我走了这么远。 现在，这个向量是什么？ 好的，这就是向量2，2。 或者换另一种方式考虑它， 这个向量将你在水平方向上移动两个单位， 在竖直方向上移动两个单位。 所以无论哪种方式，你都会得到相同的结果， 并且，那也应该得到直观的，或者感性的认识。 希望如此。