解释均值的置信区间

在我们为均值构造了一个置信区间后, 重要的是能够解释该区间告诉我们了什么, 和它没有告诉我们什么.

均值的置信区间为我们提供了一系列可能的总体的均值. 如果置信区间不包括特定值, 我们可以说, 该特定值不太可能是总体平均值的真值. 然而, 即使某个特定值在区间内, 我们也不应该断定总体的均值等于该特定值.

让我们看几个例子, 演示如何解释均值的置信区间.

小斯是一家给汽车零部件喷漆的工厂的质量控制专家. 他们的喷漆过程包括底漆、彩漆和透明漆. 对于某类部件, 这些层的目标总厚度为 $150$‍ 微米. 小斯在一个部件上测量了随机选择的 $50$‍ 点的厚度, 来查看喷漆是否正确. 他的样品平均厚度为 $\overline{x}=148$‍ 微米, 标准差为 $s_x=3.3$‍ 微米.

根据他的数据, 平均厚度的 $95\mathrm{\%}$‍ 的置信区间是 $(147.1,148.9)$‍.

不, 不合理. 置信区间表明, 这些部件的平均厚度的真值可能介于 $147.1$‍ 和 $148.9$‍ 微米之间. 由于此区间不包含 $150$‍ 微米, 因此, 此部件的平均厚度符合目标值似乎不太可能. 换句话说, 整个区间低于 $150$‍ 微米的目标值, 因此此部件的平均厚度可能低于目标值.

小娜读到, 研究生的平均年龄是 $33$‍ 岁. 她想估计她所在的大学研究生的平均年龄, 所以她随机抽取了 $30$‍ 名研究生. 她发现, 他们的平均年龄是 $\overline{x}=31.8$‍ 以及标准差是 $s_x=4.3$‍ 年. 根据她的数据, 均值 $95\mathrm{\%}$‍ 的置信区间为$(30.2,33.4)$‍.

是的. 由于 $33$‍ 在区间内, 因此这是她所在大学研究生总体的平均年龄的合理值.

环境保护署 (EPA) 的标准和条例规定, 在为儿童设计的公共游戏区, 土壤中铅含量不得超过 $400$‍ 百万分率 (ppm) 的限制. 小卢是一名巡视员, 他从考虑建造操场的地点随机抽取了 $30$‍ 份土壤样本.

这些数据显示样本均值 $\overline{x}=394\text{ppm}$‍ 以及标准差 $s_x=26.3\text{ppm}$‍. 由此得到的平均含铅量的 $95\mathrm{\%}$‍ 置信区间是 $394\pm 9.8.$‍

小红是在一家手机制造商研究无线充电的工程师. 他们的设计规范规定给耗尽电量的电池充满电最多需要 $2$‍ 个小时.

小红随机抽取了 $40$‍ 个手机和充电器. 她耗尽了电量, 并计时看它们充满电需要多长时间. 这些测量数据被用来构造平均充电时间的 $95\mathrm{\%}$‍ 置信区间. 由此得到的区间是 $124\pm 2.24$‍ 分钟.