握手组合

当一间房间里面有4个人 你大概已经不想让我 用字母为这些人命名了 但是我还是要这么做 房间里面的4个人分别是A，B，C，D 他们均互相不认识 但我想让他们都互相认识 如果想要认识一个人的话 就要与其握手一次 所以我的问题是 如果房间里所有人都要与其他人握手一次 那么总共发生了几次握手呢？ 也就是总共的握手次数 像之前一样，现在暂停视频 看看你有没有什么思路 好的，我相信你肯定尝试了一下 其中一个解题方式就是 如果房间里的 两个人握了一次手 我们没有在说一次握三只手 或四只手 他们在做的就是那个传统的 两个人用右手手握手 所以这里是一个人 这里是另外一个人 房间中有四个“可能性” 然后如果房间里面的人 不会自己跟自己握手 -- 他们只跟其他人握手 那么这房间里的四个人 每个人都分别有三个“可能性” 也就是说 这里有4个3次握手 不过虽然会发生4个3次握手 但我希望你可以思考一下 这到底是不是真的会发生 12次握手 你可能已经思考过了，你可能会说 4乘3 我们就是在计算不同的排列组合 也就是计算有多少种可以把 4个人两两分组的方式 或者是两两握手的方式 我们会注意他们在哪个分组里 他是握手的人1号 还是握手的人2号 我们会把他们命名为1号是握手的A 2号是握手的B 不过这是不同于1号是握手的B 2号是握手的A 但是我们并不希望这样重复的排列组合出现 我们不希望A和B握手 A面向北边，B面向南边 然后另外一次A和B再握手的时候 变成B面向北边，A面向南边 我们只需要他们握手一次即可 因为无论方向，他们在做的事情是一样的 所以我们不需要这样重复握手的事情发生 也就是说如果这样计算的话，我们就是在重复计数 想要解决这个问题 我们真正要做的是确认组合 首先在4个人中 有多少种两两相对的组合 这也正是我们需要计算出来的数字 那么每次握手 就都是从这两个人中挑选出来的 所以我们要做的就是找到 选择出两个人有多少种方法 即每一个两个人组成的组合 都将会由不同的人组成 都将会由不同的人组成 如果一个组合中的人是一样的，比如AB和BA 那么他们就是同一个组合 所以可以看出这其实是一个关于组合计算的问题 现在的题目就是在说 在4个人的房间里 有多少种选择出两个人的方式 另言，4选2的方式 再来，这就将会变成 把4个人排列成3个位置有多少种方法? 也就是4乘3 我们在这里已经计算过了答案，是12 啊让我来把它变绿吧 这样你看起来会比较清楚 所以4乘3 用这个除以 排列两个人的方式的组合数量 两个人之间有不同的排序 像这样一个在左另一个在右 或者另一个在右一个在左 或者另一个在右一个在左 你还可以把他们看成两个阶乘 不过他同样等于2 所以让我们把它写成2 这就是排列两个人的方式的数量 这个上面的分子就是 所有排列组合的数量 这就是4选2所有排列组合的数量 在这里我们是要考虑顺序的 所以我们可以把这个分数表达式理解成 分母2是为了纠正这里出现的重复计算 如果你想运用公式的话也是可以的 其实我刚刚已经差不多讲解了它的原理 我们看，4乘3等于12 不过我们在重复计算 因为要排列两个人的话有两种方法 所以我们需要在这里除以2 因此最后的结果就会变成6 你可以像我刚刚说的那样解题 或者你可以直接代入公式 你可以直接说，4选2 也就是从4个人中选出2人组合 的数量 这里是2的阶乘乘以4减2的阶乘 分之4的阶乘 让我来把他们的颜色变一下 所以你能更好的看到这些数字是怎么来的 所以现在我们来计算，结果是什么呢 这块将会变成4乘3乘2乘1 分数线之下就是2乘1乘这一块 也就是2乘1 然后他们之间会互相抵消 所以最后4除以2等于2 2乘3除以1等于6 最后让我们把关键点 真的画出来 A会与B握手 A会与C握手 A会与D握手 然后让我们就忽略重复的组合，先写出12个排序 B会与A握手 B会与C握手 B会与D握手 接下来C会与A握手 C会与B握手 C会与D握手 最后D会与A握手 D会与B握手 D会与C握手 好嘞，这就是我们的 12个排序组合了 如果我们的计算方式是D与C握手不同于C与D握手的话 那么我们最终的结果就会是12 不过我们现在要计算的是 两个人之间仅握手一次的结果 也就是说这样的做法是在重复计算 所以现在AB与BA是一个意思 AC和CA是一个意思 AD和DA是一个意思 BC和CB是一个意思 BD和DB是一个意思 CD和DC是一个意思 所以我们最后就剩下了 如果我们纠正了重复计算的话 我们就剩下了 1，2，3，4，5，6个不同的排列组合 所以当你不关心 选择它们的顺序时 那么就会有6种不同的4选2的方式