计算回归线的方程

在之前的视频中，我们用了 这个双变量数据并且我们计算了相关 系数，复习一下， 我们有这个公式，它看起来 有点吓人，但在视频里 它只是每对z分数乘积的平均值。 对于每一对 我们所的，如果r等于1， 你有一个完美的正相关。 如果r等于负一，你有一个完美的 负相关，如果r等于0， 你不需要相关性，但是对于这些 特定的二元数据集，我们得到r为0.946， 代表了我们有一个相当强的正相关。 我们在这个视频里 基于这个要点，并且得到了一个等式 关于符合这些点的最小平方线。 在我做之前，我们展示 一些关于这些点的统计数据 我们清晰的在这里有四个数据点。 我们画出x的图 样本平均数和样本标准方差 对于x在这里是红色， 让我们框住这些红色的，这样你就知道 这里发生了什么，样本的平均数 对于x，很容易来计算1加2加2 加3除以4，是8除以4， 等于2，所以我们有x等于2在这里 这是一个样本标准方差 在平均数以上，这是一个样本标准方差 在平均数以下，我们可以对y变量做同样的事情 平均数是3，这是一个样本 标准方差关于y，在平均数以上 这是一个y的标准方差在平均数以下。 画出这些平均数，特别是 他们的交集和他们的标准方差。 可以帮助我们建立一个最小二乘直线 通常而言，任意线的方程式 将是y等于mx+b 这是斜率然后这是和y的交汇。 对于回归线，我们在上面盖个帽子。 这是y^ 这是一个回归线 我们去填上这些点。 首先，斜率是什么， 斜率等于r乘以比率，关于 y方向的样本标准差 除以x方向的样本标准差。 这可能一开始看起来不是很直观 我们一会再讨论 希望可以更加讲得通。 但接下来我们需要知道 如果我们可以计算斜率，我们如何计算 y轴的交点？ 像大家在代数1里面学的 你可以计算y的交点如果你知道 斜率，知道什么点肯定 将在线上？ 对于最小二乘直线， 肯定会有一个点 x的样本平均数逗号y的样本平均数 肯定要要经过这个点 在算出这个具体的例子之前 在之前的视频里，我们计算了r是 是0.946或大约等于它 考虑现在发生了什么， 最小的二乘直线是要 经过这个点。 如果r是1，如果我们有一个完美的正相关， 我们的斜率将是y的标准方差 除以x的标准方差。 如果你从这个点开始且想 移动x的标准方差和 求y的标准方差， 且有一个完美的正相关， 你的线看起来是这样的。 这很有意义。 因为你看的是y的扩散 除以x的扩散，如果r等于1， 这将是你的斜率，y的标准方差 除以x的标准方差， 这和你第一次学斜率是相似的。 y的改变除以x的改变， 你可以说y的平均扩散 除以x的平均扩散。 这种情况当r等于1， 让我把这个写下来。 这是r等于1的情况。 如果r等于负1的话呢？ 看起来是这样的。 这将是我们的线如果我们有 一个完美的负相关。 当r等于0的话呢？ 你的斜率将是0且你的线 将是这一条，y等于y的平均数。 你可以只考虑这个。 但我们考虑这种情况。 在这个情况下，我们的r是0.946，所以我们 有很强的相关性，很接近1， 如果你想用0.946乘 这个比率，如果你移动了x 一个x的标准方差，这个情况， y将往上移动多少？ 你将移动r倍的y的标准方差 如果r是1，你可以一路 到完美的相关线，但这里 这是0.946，你可以最多达到 95%的程度。 所以我们的线，即便不看 方程式，将看起来是这样的。 我们可以看出来它非常适合这些点。 我不是在这个视频里证明它。 但我们有一个关于这些事情的直觉。 希望你可以感激这不是 凭空出现的。 这很直观，我们来计算一下它 对于这些具体的数据来说。 M是等于r，0.946，乘y的样本标准方差，2.160，除以x样本 标准方差，0.816. 我们拿出计算器来算 是0.946乘2.160. 除以0.816，得到2.50 我们把它精确到百分位 为了简单起见，这大约等于 2.50. 我们怎么求y的截距呢？ 记住，我们过了这个点， 将有2.50乘x的平均数。 x的平均数2，乘2 记住这里是我们的x的平均数 加b，加b将等于 我们y的平均数，y的平均数这里是3， 我们得到了什么？ 我们有3等于5加b 那什么是b？如果你减去5 在两边，你有b等于负2. 这就得到了。 对于我们的回归线的式子，我们 可以欢呼了，可以说 y^,y^告诉我们这是方程式 关于一个回归线，等于2.50乘x 减2，减2，我们完成了