概率的加法法则

假设我手上有一个袋子，我准备放入一些绿色的方块 比如，放入8个绿色的方块， 然后我还想放入一些小球 比如，放入9个绿色的小球 接下来，再放入一些黄色的方块 放入5个 最后，我再放入一些黄色的小球 放入7个吧 这些都放入袋子里后，摇晃袋子 然后把它们倾倒出来， 我们来看一看那个第一个从袋子里倒出来的物体。 在这里，我想探讨的是： 获得不同物体的概率是多少？ 比如，概率是多少， 获得一个方块的概率是多少？ 方块颜色不限 获得一个方块的概率是多少？ 思考这个问题 可以这么想 从袋子中倒出的物体，机会均等的可能性的数量是多少？ 来算一下，8加9等于17，17加5等22， 22加7等于29，所以我们有29个物体。29个物体在袋子里面。 我算的对吗？恩，是29个物体。 我们来画一下所有可能的物体， 先画一个大的区域， 它们都在这个大区域里面。 好，这是所有可能的物体。 一共有29个可能的物体。 从袋子里倒出的物体，一共有 29个机会均等的可能性。 假设从袋子里倒出的物体中，方块和小球的几率相等。 满足条件“方块”的可能性是多少？ 恩，这有8个绿色的方块和5个黄色的方块， 所以一共有13个方块。 我来画一个“方块”的集合， 一共有13个方块 这样画吧 共13个方块 这个就是“方块”的集合 我就大概画了一个，不那么精确 这就表示了“方块”的集合 那么，“获得方块”的概率是什么呢 首先，找到满足我们条件的事件的数量， 从袋子里倒出的是“方块”，一共有13个等可能性， 这个数字比上所有可能性的数量(29个) 所有等可能性的数量(29)包括了“方块”和“小球” 好，来探讨另一个问题， “获得黄色物体”的概率是多少？ 黄色物体，可能是方块也可能是小球 像前面那样，也是先找出有多少物体满足条件？ 5个黄色方块加上7个黄色小球，袋子里一共12个黄色物体 那么还是一共29个等可能性 我来用同样颜色的字体来写 29个等可能性 满足条件的12个。我在这画一个12的， 我使劲画嗷嗷画，画好了。。。 一个黄色物体的集合，一共12个 这12个物体都是黄色的， 这满足条件的12比上所有等可能性数量的29 好，两个问题的答案是：“获得方块”的概率是13/29 “获得黄色物体”的概率是12/29 我们开始进一步探讨，将会很有趣 概率是多少 “获得黄色方块”的概率是多少？ 要黄色的哦，现在我们开始关注颜色了 这个是黄色的 我儿子发不好“黄”的音，叫“宽” “获得黄色方块”的概率是多少？ 我们依然有29个等可能性 共有29个等可能性 这29个等可能性中，5个是黄色的方块 或“宽”色方块 一共5个，那么概率是5/29 在我画的文氏图上，这个概率在哪呢？ 文氏图，能够形象的表示不同的概率。 同志们，考虑一下集合重叠的那部分， 当然，不重叠的也可以思考一下。 我们想要的是，即属于黄色集合 同时，它们也是方块集合的成员 就是这个区域了，两个集合的“重叠”部分 “重叠”区域就在这 它包括了既是黄色也是方块的物体 因为它们同时在两个圈中 在这里，我们记下来 一共有5个物体，既是黄色的， 也是方块 我们继续深入研究， 概率是什么 “获得黄色物体或方块”的 概率是什么？ 方块颜色随意 任何颜色的方块都行 “获得黄色物体或任意颜色方块”的概率是多少？ 依旧，分母还是29， 它是所有从袋子里倒出物体的等可能性的数量 满足我们条件的概率是多少呢？ 我们可以这么思考 这么想 有12个物体满足条件“黄色” 就是这个整个的“黄色”圈域了 12个物体满足条件“黄色” 所以这里是12 “黄色”物体的数量 然后呢，我们不能直接加上方块的数量 因为如果加上方块的数量， 12个黄色物体中包括5个方块 这个5个方块已经计算入过了 我们这样来分析， 有7个黄色物体不是方块， 它们是伟大的小球 剩余的5个黄色物体是方块。 然后呢，有8个方块不是黄色的。 好，这样分析 我们先计算入黄色物体的数量12， 全都算进去 然后我们不能直接加上方块的数量 因为这样会再次计算入“重叠”的区域 所以我们还是来分析一下方块 一共有13个方块， 13，方块总共有13个。 方块的数量 我需要将“重叠”部分剔除去， 现在开始操作， 在这剔除“重叠”部分 减去5， 5是黄色的方块的数量 用绿色字体写“黄色”的数字，有点怪哈 这是黄色方块的数量 其实，有一个更赞的解法 哦，还是先把计算做了吧 12加13减5等于？哦，20吧 我算的对吗？恩，是20. 这就是第一种方法，获得了结果，是20/29. 其实呢，我有更神奇的思路，这比获得这个概率值本身更有意思 用本视频前面获得的那些概率，来 表示这个概率 下面我们开始来详细探讨 先在下面重写这个分数， 我们可以把它写成为：12/29 加上 13/29 减去 5/29. 这个是所有可能性中，黄色物体的数量 这个是满足条件“黄色”的概率 这个是所有可能性中，方块的数量 这个是满足条件“方块”的概率 “获得方块”的概率 这个数字，是所有等可能性中，黄色的方块的数量， 所以这面这个， 减去“既是黄色又是方块”的概率 我们还可以这么来写 “获得黄色物体”的概率 “获得方块”的概率 “获得黄色方块”的概率 好了，我们得到这样一个式子 我们来观察一下这些数字， 和这个式子 具体点说 我试着通俗的来描述一下这个式子 如果概率包括一个事件，或者多个事件。 哦，重新说 这个概率，我尽量更范化的阐述 结论很有意思。 这个概率包括一个事件， 事件属于集合A，或者也是集合B的成员， 这个概率等于：集合A所属事件的概率，加上 集合B所属事件的概率，减去 减去 两个集合 同属事件的概率。 减去 两个集合 同属事件的概率。 这是个非常实用的结论， 有时候被称作“概率加法法则”。 实际上，这个结论一目了然。 你不可以直接将两个概率相加的原因呢， 是因为这两个概率可能会有“重叠”， 这个“重叠”部分的概率的事件同时属于集合A和集合B。 你将集合A和集合B的“重叠”部分都计算进来了， 你重复计算了“重叠”部分。 这个“重叠”部分，你在本视频的前面应该已经看到过了。 所以呢，你应该将其中一个“重叠”部分剔除出来， 这样就不会重复计算了。 你是不是跟我一样还有其它的想法， 有时候，这些概率没有“重叠”部分！ 比如，我们有一些概率， 这个是所有概率的大集合 这个是满足事件A的概率 这个是满足事件A的概率 然后换一种颜色 这个是满足事件B的概率 这种情况下，没有“重叠” 这种情况下，不可能存在一个概率，即满足事件A，又满足事件B 在这种情况下，同属集合A和集合B的事件不存在 没有“重叠” 这种类型的条件，或者说这两种事件， 叫做“互斥的”。 “互斥的” 事件间是“互斥的”，意味着 它们不可能同时发生， 不可能存在一个事件同时满足这两个条件。 如果事件是“互斥的”，那么 满足事件A或事件B的概率 不等于 事件A概率加上事件B概率， 因为这个概率应该为零。 但是如果事件不是“互斥的”呢， 你要记得剔除“重复”部分。 现阶段，你可以这么想： 时刻提醒自己剔除“重复”部分， 如果事件互斥， 同时满足事件A和事件B的概率为零。 假设我手上有一个袋子，我准备放入一些绿色的方块