概率的加法法则

假设我有一个袋子。 在袋子中——我准备放入 一些绿色的立方体进去。 具体点就是，我准备放入8个绿色的立方体。 我同时也将会往袋子里放一些球体 假如我放入了9个球体。 它们都是绿色的球。 我也会往袋子里放一些黄色立方体 放5个。 我再往袋子里放一些球体 假设放了7个。 我把它们都装进袋子， 然后晃动袋子。 我要把它们倒出来 我会看第一个从袋子里 倒出来的会是什么。 我想在这个视频中思考是 得到不同形状的物体的 概率分别是多少？ 所以比如说，得到一个不管什么颜色的 立方体的概率是多少？ 得到一个立方体的概率是多少？ 嗯，要想考虑这个问题，我们就先要想出—— 一个思考它的方法—— 等概率事件一共有多少呢？ 当它们被倒出袋子时？ 好，我们让8加上9得17， 17加5得22， 22加7得29， 所以我们有29个物件， 袋子里有29个物件。 我算对了没？ 这是14，29个物体。 所以，画出所有有可能的物体。 我把它表示成这个大的面积。 所以它们是所有可能出现的物体 一共有29个可能的物件， 所以当我看实验中哪个被倒出袋子时， 有29个等可能事件。 假设一个立方体或一个球 第一个掉出来的可能性是一样的 它们中有多少满足立方体的约束条件? 嗯，我有8个绿色的立方体，还有5个黄色的立方体。 所以一共有13个立方体。 所以让我把这些方块画出来。 有13个立方体。 我们可以把它们画成这样——这里有13个立方体 所以这里是立方体，这块儿。 我没有画很准确 我只近似的画一下。 它代表全部的立方体。 所以我们得到一个立方体的概率 就是符合我们要求的事件数量。 所以这里有13个等可能出现的立方体 被倒出来。 除以全部的等可能事件数量。也就是29. 它包含了立方体和球体， 现在问另一个问题 得到黄色物体的概率是多少？得到 立方体或者一个球体的概率呢？ 所以再一次问你，这里有多少东西符合我们的标准？ 好，我们把5加7， 袋子里一共有12个黄色物体 所以我们有29个等可能事件， 我要计算有相同颜色的物体， 所以我们有29个等可能事件， 12个符合这个要求。 其所以让我在这儿画12个 我会尽可能画好点 所以假设它看起来像—— 这里是黄色物体。 一共有12个黄色物体。 所以这个12是满足我们的要求的 12个情况，除以全部的可能事件——29 所以得到一个立方体的概率是 13/29，得到黄色的概率是——12/29 现在问一个稍微更有趣的问题。 得到黄色立方体的概率是多少呢？ 所以我用黄色表示。 所以我们现在考虑颜色。 这是黄色的。 它的概率是多少呢——或者像我儿子说的，“lello." 得到黄色立方体的概率是多少呢？ 这里有29个等可能事件， 在这29个等可能事件中，有5个 是黄色立方体，或是”lello“立方体，其中有5个 所以概率为5/29. 在韦恩图上我们可以看到。 我画出的？ 这个韦恩图只是一种可视化 不同概率的方式， 当你开始思考两个环在哪里重叠起来， 或者甚至当是它们没有重叠的部分时 问题就变的有趣起来了。 所以我们现在正思考的是黄色中 有多少成员。 所以它们仅仅在这里，而且它们是立方体。 所以是这块儿——是 这两块之间重合的部分。 就是这块——它 代表了同属于黄色和立方体的部分。 因为他们同时属于两个圈内。 所以这里——让我在这里重写一遍。 所以这5个物体同时属于黄色和立方体。 现在我要问了——也许是最有趣的 问题——得到一个黄色物体或者任何颜色立方体的概率 是多少呢？ 得到一个黄色物体或者任何颜色立 方体的概率——好，我们仍旧知道 这里的分母是29。 这里是从袋子中跳出来的 全部的等可能事件。 但是哪些是符合我们的要求的事件呢？ 好了，一种方法是，概率就等于—— 这里有12个符合颜色为黄色的要求。 所以这就是圈内的全部——12个 符合黄色的要求。 所以这里是12. 是黄色物体的数量。 这是12. 然后，我们不能仅仅加上立方体的数量。 因为如果我们加上立方体的数目， 我们已经加上了这个5， 这个5是属于这个12里面的。 另一个思考的方式是，这里有 7个黄色物体并不属于立方体。 它们是球体。 这里有5个物体是立方体， 然后这里有8个立方体不是黄色的。 这是一种思考方法， 当我们算出这个12——黄色物体的数量—— 我们算出了它们全部。 所以我们不能仅仅把立方体的数量加上就完事儿。 因为我们会把这中间相交部分计算两次。 所以我们必须要计算出立方体的 数目，立方体的数目，等于13. 所以这是立方体的数目，然后我们 要减去中间这部分。 让我算一下。 所以减去这中间的部分， 也就是减去5. 这是黄色立方体的数目。 用绿色写黄色感觉怪怪的。 黄色立方体的数量——或者另一种思考方法是—— 你可以在这里做减法。 12加13减去5等于20. 我算对了吗？ 12减去，对，等于20 所以这是一种方法。 你只要让它等于20/29 但是比起回答这个的 概率更有趣的事情是 用之前视频中算出 的概率来表示。 所以让我们再多想一点儿。 我们可以把这个方程再写一遍。 我们可以再写一下，当12/29加上13/29再减去 5/29. 这个就是黄色的数目 除以全部的可能性。 所以这个就是得到黄色物体的 可能性。 这个是立方体的数目 除以全部的可能性。 所以这个加上得到立方体的概率， 而这个就是黄色立方体 的数目除以全部的可能性。 所以这个是减去黄色和立方体 的概率 我不打算用这种方式写下来。 减去黄色的概率——我要 用黄色写黄色——黄色和立方体。 就是我我们刚在这里所作的—— 你可以玩儿这些数字 我刚刚使用 的数字作为一个例子 便于把这个问题讲得更具体一些。。 但是你可以看到这是一个普遍的事情。 如果我们得到了一种情况的概率 或是另一种情况——让我再写一下——概率—— 我要写的比这这里稍微普遍一点 这给我们一个更有趣的想法。 在某个条件下得到某个 属于a的物体的概率。或是说一个属于b的物体 等于属于a的物体的概率 加上得到属于b的物体的概率 减去同时属于ab的概率。 这是一个非常有用的结论。 有时它被称作概率的 加法规则。 但是我希望向你展示一个完全属于常识 的事情。 你不能仅仅把这两个概率相加的原因是 因为他们有一些重叠。 两者都有概率得到。 如果你仅仅把他们相加， 就会把重叠的部分计算两次， 这我们已经在之前的视频看到了。 所以你必须监狱一个重叠的部分。 才能避面计算了两次。 我要提出另一个想法。 有时，你要计算的概率之间 没有重叠的部分。 所以假设它包含了全部的的概率， 然后假设假设这是满足条件的集合 让我用另一种颜色。 然后假设这是符合条件b的。 所以在这个情况下，这里没有重叠。 它们不会——a和b都不属于这两个集合。 所以在这种情况下，a和b同时出现的概率为0. 没有重叠。 这种类型的情况或者说这两个事件， 被称作互斥。 所以当事件之间互斥时。 就指的是它们不可能同时发生。 没有事件会同时属于两种情况。 而且如果事件是互斥的。 你就可以说a或者b出现的概率 就是a出现的概率加上b出现的概率。 但是当事件并不是互斥的。 你就必须要减去重叠的部分。 也许解决这个问题最好的思路是 一直意识到你要 减去重叠的部分。 然后很明显当事件互斥时， 得到a和b同时出现的概率就等于0.