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课程: 统计和概率 > 单元 7

课程 9: 条件概率和独立性
数学
统计和概率
概率
条件概率和独立性
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条件概率和独立性

Google课堂
在统计概率上，如果一个随机事件的发生不会影响另一个随机事件发生的机率，我们就叫这些事件独立事件。
例如, 掷硬币时得到正面的概率为 1/2。如果我们知道掷硬币的那天是星期四呢? 这会对掷出正面的概率有影响吗? 当然不会。星期四时掷出正面的概率仍然是 1/2。所以，掷硬币的结果与星期四为独立事件, 因为即使知道是星期四，掷硬币的结果也不会受到影响。
不是所有的情况都像以上的案例那么明显。性别与惯用的 (左/右) 手有关系吗? 从表面看，这两者之间是独立的。但是从实验概率中可以得出，所有人中有 10% 是左撇子，但是所有男性中有 12% 是左撇子。所以这两个事件不是独立的，因为我们知道了如果一个随机选出的人为男性，这将增加他是左撇子的概率。
本章的主要目的是通过概率来确定两件事件的独立性。
如果 P(A | B)=P(A) and P(B | A)=P(B)，随机事件 A 与随机事件 B 为独立事件。

例题 1: 大学与学生的收入

两所大学对 300 名新毕业生的收入分别进行了统计，并建立了以下的复式统计表。
年收入大学 A大学 B合计
低于 $20,000362460
$20,000 — 39,99910956165
$40,000 以上354075
总计180120300
假设我们随机从调查数据中选出一名毕业生。
这两个事件，"收入在 $40,000 以上" 和 "大学 B 的毕业生"，是独立事件吗?
通过找出条件概率来答题。
例1: 问题A
一名随机选出的毕业生年收入超过 $40,000 的概率是多少?
P($40,000 或以上)=
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

例1: 问题B
一名随机选出的 大学 B 的 毕业生年收入超过 $40,000 的概率是多少?
P($40,000 或以上 | 大学 B)=
  • 你的答案是
  • 真 分数, 如 1/2 或 6/10
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75

例1: 问题C
这两个事件，"收入在 $40,000 以上" 和 "大学 B 的毕业生"，是独立事件吗?
选出正确答案：

例题 2: 大学与学生的收入 (续...)

这里是题 1 中的数据:
年收入大学 A大学 B合计
低于 $20,000362460
$20,000 — 39,99910956165
$40,000 以上354075
总计180120300
假设我们随机从调查数据中选出一名毕业生。
这两个事件，"收入在 $20,000 以下" 和 "大学 B 的毕业生"，是独立事件吗?
通过找出条件概率来答题。
例2: 问题A
一名随机选出的毕业生年收入低于 $20,000 的概率是多少?
P(低于 $20,000)=
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

例2: 问题B
一名随机选出的 大学 B 的 毕业生年收入低于 $20,000 的概率是多少?
P(低于 $20,000| 大学 B)=
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

例2: 问题C
这两个事件，"收入在 $20,000 以下" 和 "大学 B 的毕业生"，是独立事件吗?
选出正确答案：

如果概率很接近呢？

当我们在现实世界的数据中分析事件独立性时, 很难得到与理论概率完全相等的概率。几乎所有的不是完全随机的事件都在一定程度上是相依的。
在解题时, 我们通常假设两个事件是独立的，然后用实验数据来证明。如果得出的概率与理论概率相差很多，我们便可以说这两个事件不是独立的。我们将在推论统计中进一步的学习这个概念。
要注意，任何的数据都不能代表因果关系, 除非实验设计排除了其他所有的变量。扩展思考一下, 你还能想到其他一些变量 — 除了大学 — 会导致例题 2 中两所大学毕业生的收入的不同吗?

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