If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

相依概率

Sal用掷骰子的示例,求如 P (A | B) 的相依概率。 Sal Khan 创建

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.

视频字幕

假设小E 同时抛出一个6面骰子和一个4面骰子 假设小E 同时抛出一个6面骰子和一个4面骰子 用事件A来表示她抛出了一对儿 (2个骰子结果相同) 我划线标出来 事件A表示抛出一对的事件 事件B表示4面骰子的抛出结果为4 使用下图给出的可能结果的样本空间,回答以下问题 使用下图给出的可能结果的样本空间,回答以下问题 好的 第1项,P(A),也就是小E抛出了2个数字一样的概率 第1项,P(A),也就是小E 抛出了2个数字一样的概率 这里是可能结果的样本空间 每一个都是等可能的 我们看看一共有多少个 这里有1、2、3、4 行,乘以 1、2、3、4、5、6列 4 x 6 = 24 种可能结果 这没错 4面骰子有4种可能结果 6面骰子有6种可能结果 所以我们有24种等可能结果 所以概率是 我写这里吧 P(A) 是一个分数 分母是24种等可能结果 再看事件A 是抛出了一对 来看图想一下 她可能抛出一对1,两个骰子的结果是1和1 两个骰子形状不一样,但结果都是1 还有呢 还可能是2和2 3和3 4和4 到 5和5 就不可能了 因为有一个骰子只有4个面,最大就到4 所以是4种可能性 24分之4,4/24 这就是抛出一对的概率 就是 4/24 如果分子分母同时除以4 化简为 1/6 小E抛出一对儿的概率就是 1/6 第2项,P(B),4面骰子结果是4的概率? 第2项,P(B),4面骰子结果是4的概率? P(B) = 和刚才一样,24种 等可能结果 4面骰子抛出4的情况有几种呢? 都在图里的这行 这些都是4面骰子抛出4的 所以有1、2、3、4、5、6种 6 除以 24 概率是 1/4 P(B) = 1/4 这说的通 因为不用考虑6面骰子 只看4面骰子 抛出结果为4的 4种可能里选1个 那概率就是 1/4 第3项,P(A|B) ,已知B时A发生的概率 就是说小E抛出的4面骰子为4时 能抛出一对的概率 稍微想一下 P(A|B) = 已知B发生了的前提下,A发生的概率 P(A|B) = 已知B发生了的前提下,A发生的概率 看图,就是限制在这里,B已经发生的情况 看图,就是限制在这里,B已经发生的情况 看图,就是限制在这里,B已经发生的情况 已知B的意思就是假设B已经发生了 所以B已经发生的,可能结果的样本空间,就是这里 所以B已经发生的,可能结果的样本空间,就是这里 所以B已经发生的,可能结果的样本空间,就是这里 这里有1、2、3、4、5、6种等可能结果 其中几个是A也发生的呢? 这个我们已经圈起来的4和4 是这6种里唯一出现的对儿 是这6种里唯一出现的对儿 所以概率是 1/6 就对了吧 我写在这里 这项答案是 1/6 为什么对呢? 因为先假设4面骰子结果是4 这就等同于问 你只抛出一个6面骰子 能得到4的概率是多少 因为只有抛出4才能凑成一对儿 之前已知了4面骰子是4 我们看这里 6面骰子必须也是4 为了和之前的4凑成一对儿 因为要假设B已经发生 我们已知B 我们就根据事件B来缩小了样本空间 第4项,P(B|A) ,已知A时B发生的概率 就是说小E抛出了一对时 4面骰子能抛出4的概率 还是来想一下 P(B|A) = 已知A发生的前提下,B发生的概率 P(B|A) = 已知A发生的前提下,B发生的概率 A已经是真的了 那我们就要把样本空间缩小到 A已经发生的这4个等可能结果中 就是说A已经发生 所以这里有1、2、3、4种 其中有几个是B也发生的呢? 好,只有这1个 B也是真的 在已知凑成对儿的这里 我们一共有4对儿 只有这一对儿里,4面骰子是4 只有这一对儿里,4面骰子是4 这项答案就是 1/4 这也对了是吧 如果已经抛出了一对儿 我们有对1、对2 对3和对4 都在图里,对1、对2 对3、对4 这是已知,那4面骰子为4的概率呢? 这是已知,那4面骰子为4的概率呢? 那不就是4个结果里 选出1个来 就是1/4 第5项,P(A且B) 这就是问小E抛出了一对儿,而且,4面骰子是4的概率 这就是问小E抛出了一对儿,而且,4面骰子是4的概率 P(A 且 B) = A和B同时发生的概率 我们来求解 写下题目 我换个颜色 P(A 且 B) A且B 的概率,我把“且”写成白色的 A、B用原来颜色 P(A 且 B) =? 还是一样,看图 24个等可能结果 24个等可能结果 A 且 B 发生的情况有几个? A和B都满足 又凑成一对儿,又有4 其实就是结果为一对4 那就只有这一个 24个里只有1个 只有这1个符合 A 且 B 所以,P(A 且 B) = 1/24 所以,P(A 且 B) = 1/24 第6项,P(A) 乘以 P(B|A) 我们可以直接回到前几题看答案 P(A) = 1/6 我换回粉红色 我喜欢把颜色区分开 P(A) • P(B|A) = 1/6 • 1/4 P(A) • P(B|A) = 1/6 • 1/4 1/6 • 1/4 = 1/24 有趣的是,又是 1/24 这项答案是 1/24 最后一项,P(B) • P(A|B) P(B) = 1/4 我们已经求过了 P(A|B) = 1/6 1/4 • 1/6 = 1/24 1/4 • 1/6 = 1/24 这里看懂没? P(A 且 B) = 1/24 P (A) • P (B|A) = 1/24 P (B) • P (A|B) = 1/24 全都是 1/24 这个是始终成立的吗? 对,是的 想一下 P (A 且 B) 的含义 是说A和B都发生了 但这也是说 有一个概率 当A发生时 另外一个事件也发生了 就是在已知A为真时 B也发生了的概率 你可以说,这里是约束条件 我们已经乘上了A发生的概率 我们已经乘上了A发生的概率 然后乘的概率是 已知A为真,B也为真时的概率 我经常把这两个交换一下 这样思考起来更清楚一点 所以这个就可以写成 P(B|A) • P(A) P(B|A) • P(A) P(A) 是A为真时的概率 这是当已知A为真时,B也为真的概率 这是当已知A为真时,B也为真的概率 这不就是完全一样的在说 P(A且B) 吗 这不就是完全一样的在说 P(A且B) 吗 这不就是完全一样的在说 P(A且B) 吗 很明显,这里就是在说 A和B都发生的概率 反过来也一样 P(A|B) • P(B) P(A|B) • P(B) 这也是说 B为真的概率 B发生的概率 然后当已知B为真 A也发生了的概率 所以这是一样的 也是等于 P(A且B) 也是等于 P(A且B)