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主要内容

二项分布变量的期望值

推导出并使用二项随机变量的期望值 (平均值) 公式.

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视频字幕

有一个二项式变量X 我将用非常笼统的术语来描述它, 代表了成功的次数 在尝试了n次实验后, 在n次实验后, 成功的概率 成功 对于每次实验 是P,这是一个合理的方法 来描述任意的随机变量,任意的二项变量 我们假设每一个实验是相互独立的, 概率保持一定, 这里试验的次数是有限的, 每一次实验的结果 都是非常明显的成功或失败 我们在这个视频里专注的 是这些二项变量 的期望值是什么 这些期望值, x的期望值 等于多少 我就直接告诉你答案吧 在视频的后续,我们来证明 用更加数学的方法。 x的期望值,是 等于实验的数量 乘每一个实验成功的概率 如果你想 更具体一点 想象如果一个实验 罚球实验 在罚球线上投篮, 成功,成功 是命中的,所以你真的命中了 球进篮子里了 概率是,用黄色 概率,是你的罚球命中率, 是30%或0.3 为了便于讨论,假设 我们投10次,n等于10 这就更具体了 在这个具体的情况下,期望值 期望值,如果x是罚球命中次数 在罚了10次球之后, 罚球命中率达到30% 基于我告诉你的,这将是n乘p 是试验的数量 乘任何一个试验成功的概率 乘0.3,等于 等于3 这直观上讲得通吗? 如果我们投10次 投进的概率是30% 确实感觉很自然 我期望投中3次。 说完了这些, 让我们用数学思维来考虑 我们要利用一些 期望值的性质 具体而言,我们要利用 如果我有期望值 关于两个独立随机变量的和 X加Y,将等于 X的期望值加Y的期望值, 我们在其他视频里说的 假设在这里 我们建立了一个新的变量 假设是随机变量Y 我们知道关于Y的如下事实 Y等于1的概率是 等于P Y等于0的概率是 等于1减p 这是两个关于这个随机变量的结果 你可以看到这里发生了什么 你可以把这个当作随机变量 代表了一个试验 成功的话是1 不成功的话是0 我们原本的随机变量x 在这里等于 Y加Y,我们有10个这样的 有10个Y 在具体的情况下,你可以理解随机变量Y 等于1,如果你投进 等于0,如果你没有投进 这代表了其中之一的试验 可以把x理解成这些试验的和 事实上,让我在这里说清楚, 我马上去找具体的情况 但我应该说n个Y 因为我想找到通用的情况 这是n n个Y 这是具体的例子, 但我要尽量保持一般性 在接下来的视频里 因为我们想 证明这里的结果 让我们用两边的期望值 将等于多少? 我们有x的期望值, 等于 是这些所有的期望值 应该是这里 是我们的y的期望值 加上Y的期望值加上 我们要做n次, 加Y的期望值 有n个这样的, 重新写下是等于 在这里是n 是n乘 y的期望值 Y的期望值是多少? 这是很直接的, 可以直接的写出来 Y的期望值,写在这里 Y的期望值 只是概率加权的结果 这只有两个离散的结果, 很容易来计算, 我们有p等于1的概率 p乘1加 有1-p的概率 拿到0分 这简化成什么样呢 0乘任何东西都是0 有1乘p,等于p Y的期望值等于p 你有这个了,我们有X的期望值 是10乘期望值, 或X的期望值是n 乘Y的期望值 Y的期望值是p X的期望值等于np 希望你对此感觉良好。