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主要内容

二项分布变量的方差

推导二项随机变量的方差和标准差公式.

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视频字幕

这一节我们将继续我们的旅程, 尝试去理解, 什么是期望值, 什么是二项变量方差, 什么是期望值, 或者说二项分布方差, 也就是二项变量的分布。 和上一节一样, 这个二项变量X 是广义上的定义。 它表示N次试验成功的次数, 有限次数的试验, 成功的概率等于P, 所以每个独立试验的概率都是常数, 也就是说, 每个试验成功的概率 并不依赖于其他试验的结果。 上一节我讲过, 二项变量的期望值 我们说,嘿 这个二项变量可以被看作, 看作是N的总和, 你还可以在这把它看作是 一个伯努利变量。 所以, 这个变量,这个随机变量 Y, 其概率等于1, 你可以这样写,成功的概率等于1。 失败的概率是 Y等于0也就是1减P, Y,Y的结果, 或者说Y是1还是0 在于我们的 每个试验是否成功 所以如果你把N个Y加起来, 你就能得到X。 然后我们用这个信息 求出X的期望值, 因为Y的期望值 很容易计算。 Y的期望值 就是概率加权值。 所以,P乘以1 加1减P, 1减P,乘以0,乘以0 这一项是0。 所以,Y的期望值就是P 所以,如果你说X的期望值, 就是, 让我写在这, 再回顾一下, 我们可以说 X的期望值等于, 我们从期望值的性质那里知道 它等于 n个Y的期望值之和, 或者你可以说它是, N乘以期望值, 乘以Y的期望值, Y的期望值是 P, 所以它等于n乘以P。 现在,我们要用同样的方法 求出X的方差 等于多少, 因为我们可以从方差性质中看出, 不能用标准差, 但可以用方差。 求出方差后。 只需取平方根 就能求出标准差, 同样地,X的方差等于 N个Y的方差之和。 所以,同样地, n乘以方差,n乘以Y的方差。 所以,这一切都归结为 Y的方差是多少? 让我移一下, 这样能有更多的地方。 我在这算。 好啦,我们想求出Y的方差, 所以,Y的方差 等于多少呢? 嗯,是概率 偏离期望值距离的平方 所以,概率P 偏离期望值距离的平方 是多少呢? 嗯,我们有概率P, 在这种情况下,偏离均值 或偏离期望值的距离是1, 我们已经知道 期望值等于P, 所以,这个是可能结果, 偏离期望值距离的平方乘以它的概率加权, 我们可以得到, 让我移一下, 嗯,我就在这写, 加1减P 1减P是其他可能结果, 其结果 是0 0和期望值之间的差是? 嗯,是0减P, 再一次,平方这个值, 这就是Y的方差的表达式。 我们可以简化一下它。 所以,它等于, P乘以1减P的平方 然后,这个等于P的平方 乘以1减P 加P的平方乘以1减P 让我看看,我们可以提取公因式P乘以1减P, 那还剩下什么呢? 如果在这提取公因式P乘以1减P, 还剩1加P 如果在这提取公因式P乘以1减P, 再加P。 这俩抵消。 整个这里简化成1。 所以,还剩P乘以1减P 这就是二项变量的方差。 我们在其他视频中证明过。 我想你在这 再看一遍也无妨。 我们知道Y的方差是什么。 是P乘以1减P X的方差是n乘以Y的方差 好了,我们应该来点鼓声, X的方差等于 n乘以P乘以1减P。 所以,如果我们以上一个视频中的 具体例子为例, 如果我罚球10次, 每次试验都是一次投篮,一次罚球, 如果我罚球10次, 成功的概率是0.3, 我的罚球命中率是30%, 我期望看到的方差是, 在本例中,方差是, 如果X是罚球的次数 我投了10次, 方差是10 乘以0.3, 0.3乘以1减0.3 也就是0.7 等于多少呢? 就是这个。所以等于 10乘以0.3乘以0.7乘以0.21 本例中的 方差等于2.1, 等于2.1。 如果我想求出 在这的标准差, 只需在这开根号。 所以如果我们想求标准差, 只需给在这的表达式 开根号。