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主要内容

二项式概率(基础)

问题 1:建立罚球直觉

小王的罚球命中率为 90% 。 她将进行3次罚球。假设每次罚球的结果都互相独立。
她希望能精确获知 3罚中2 的罚球概率。
试着思考这个问题,让我们将其分解成更小的部分。
问题 A
如果她成功投进2次罚球,意味着会有多少次罚球不中?
选出正确答案:

问题 b
求她第一回2次投中,却错过第三次罚球的概率。
如果有必要,四舍五入答案到最接近百分位。
P(make, make, miss)=
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题 c
"命中,命中,未命中" 并不是小王在3次罚球尝试中命中2球所能遇到的唯一方法。
求她第一次罚球命中,第二次未命中,并且第三次命中的概率。
如果有必要,四舍五入答案到最接近百分位。
P(make, miss, make)=
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题 d
小红同样还可能遇到“未命中,命中,命中”的2次罚中结果。
求她第一次罚球未命中,但接下来2次罚球均命中的概率。
如果有必要,四舍五入答案到最接近百分比。
P(miss, make, make)=
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题 E
利用组合公式来验证这些3次方案可以代表我们所能列出的所有32尝试方式。
nCk=n!(nk)!k!
3C2=
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
方法

问题 F
接着将所有信息整合,以求得她精确完成32罚球的概率。
如果有必要,四舍五入答案到最接近百分比。
P(makes 2 of 3 free throws)=P(F)+P(S)+P(S)
P(makes 2 of 3 free throws)=
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

根据问题1整理:构建未来使用的公式

我们从问题1发现,相同结果的不同顺序有着相同的概率。
我们可以为此类似的问题构建一个公式,也叫做二项式设置。二项式概率问题具备这些特点:
  • 一系列试验次数 (n)
  • 每次都可以被分类为"成功" or "失败"
  • 每次实验的成功 (p) 的概率相同
  • 并且每次试验的结果彼此独立
以下是我们对二项式概率的一般策略总结:
P(# of successesgetting exactly some)=(arrangements# of)(of successprobability)(successes# of)(of failureprobability)(failures# of)
使用问题1中的示例:
  • n=3 次罚球
  • 每次罚球都是一次"命中" (成功) 或 一次 "未命中" (失败)
  • 小红罚球的概率未p=0.90
  • 假设每次罚球都互相独立
P(makes 2 of 3 free throws)=3C2(0.90)2(0.10)1=30.810.10=30.081=0.243

总而言之...

P(exactly k successes)=nCkpk(1p)nk
试着利用这些策略来解决其他问题。

问题 2

小王的朋友小智罚球命中率只有 20%。 他计划进行4次罚球。
求小智4罚中2的准确概率?
P(exactly 2 makes)=
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

挑战题

小王向小智承诺,如果小智43中,那么就请他喝可乐。
求小智43中或全部命中的概率?
P(3 or more makes)=
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

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