二项式分布

我们来定义一个随机变量 x 代表正面 (H) 的次数 我简写成 H 好了 抛硬币出现正面的次数 我们假设抛的是一枚均匀硬币 我们假设抛的是一枚均匀硬币 一共抛 5 次 和所有随机变量一样，这是将特定结果转换成数字 和所有随机变量一样，这是将特定结果转换成数字 随机变量 x 可能等于 0、1、2、3、4、5 随机变量 x 可能等于 0、1、2、3、4、5 我们求解的是各种概率 当随机变量分别为 0、1、2、3、4、5 时的概率 当随机变量分别为 0、1、2、3、4、5 时的概率 我们先想想有多少种可能的结果 抛5次硬币的结果 抛5次硬币的结果 我们写下来 抛5次硬币可能得到的结果： 抛5次硬币可能得到的结果： 抛5次硬币可能得到的结果： 这里不是随机变量的可能结果 这是抛硬币的可能结果 抛5次的结果 例如，一个可能的结果是 反、正、反、正、反 （反面 =T、正面 =H） 另一种可能结果是 正、正、正、反、反 这是等可能结果之一 那是另一个等可能结果之一 那一共有多少呢？ 每次抛硬币都有2个可能性 我们写下来 先擦掉这行 第一次抛出有2种可能 乘以第二次抛出的2种可能 我们还是别写乘号了 我怕和随机变量的 x 混淆 第一次的2种可能 乘以第二次的2种 再乘以第三次的2种 乘以第四次的2种 再乘以第五次的2种 或者用 2的5次方 表示抛5次硬币的等可能概率 都等于32 这有助于理解 因为随机变量可以取的每一个值 我们只需要考虑 有多少个等可能事件，会导致随机变量取到这个值 有多少个等可能事件，会导致随机变量取到这个值 我们来研究一下哈 到底咋回事 这次我用浅蓝色 这次我用浅蓝色 来看概率P 当随机变量 x=1 时 呃，还是从0开始吧 P (x=0) 这就是说抛5次都没有正面 这只有一种可能 在32种等可能结果中，没有正面 那就是5次都是反面这一种 T T T T T 所以 P = 所以 P = 32种等可能结果中的 1种，1/32 现在对于这个情况 比起用 二项式系数，还有排列组合 那些 直接推理要容易得多 不过我们可以这样想 当随机变量取更大的值时，它会更有用 这些都是二项分布的积累 所以你就知道这名字怎么来的了 我们写成这个格式 这个1 就是这个1 你可以想，在组合学中 你抛了5次硬币，没有1次是正面 5次中0次正面 我们来验算5选0是不是只有1种组合 由计算公式可知 C （5选0）= 5! （5的阶乘） 除以 0! • (5-0)! 除以 0! • (5-0)! 除以 0! • (5-0)! 根据定义 0! =1 C = 5! / 5! =1 等于1 再说一次，我喜欢推理分析 而不是傻套公式 我只是想证明一下两种思路结果一致 我只是想证明一下两种思路结果一致 下面继续 当 x=1 时 一直到 x=5 如果你懂了，我鼓励你自己完成后续计算 如果你懂了，我鼓励你自己完成后续计算 看看 x=1、2、3、4、5 时，概率P 分别是多少 看看 x=1、2、3、4、5 时，概率P 分别是多少 我们来看 x=2 不对，x=1 时的概率P P (x=1) = 怎么得到一个正面呢？ 第一种可能，是一个正面H之后其他的都是反面T H T T T T 还可能第二次是正面，其他都是反面 T H T T T 我可以全列出来，但你分析一下 这5个位置分别出现1次正面H 在全部32个等可能结果中 只有1个正面的 我写下来 那就是32个等可能结果中的5个，5/32 那就是32个等可能结果中的5个，5/32 这等于什么呢 不就和我5选1的概率是一回事吗 我选其中一个来作为正面 C（5选1）/ 32 你可以验证 C 等于 5的阶乘 除以 1的阶乘和(5-1) 的阶乘的乘积 算了，我还是写吧 光听我说有点费劲 C（5选1） = 5! / 1! • (5-1)! C（5选1） = 5! / 1! • (5-1)! 1!=1，(5-1)! =4! C = 5! / 4! =5 C = 5! / 4! =5 好，我们进展不错哦 接着看 x=2的概率 P (x=2) = P (x=2) = 现在我用组合学的方法来解 抛5次硬币 有2次是正面 在32个等可能结果中 C（5选2）就是抛5次有2次正面的组合 C（5选2）就是抛5次有2次正面的组合 C（5选2）就是抛5次有2次正面的组合 你是不是想说我的天啊 或者我的上帝啊什么的，哈哈 组合C (5选2) 除以 32 个等可能结果 就是概率 P(x=2) 得多少呢，我在这里写 其实我没必要一直换颜色哈 其实我没必要一直换颜色哈 C（5选2）= 5! / 2! • (5-2)! C（5选2）= 5! / 2! • (5-2)! C（5选2）= 5! / 2! • (5-2)! (5-2)! = 3! C = 5! / 2! •3! C = 5! / 2! •3! 5的阶乘就是从5自己乘以4、3、2、1 5! = 5•4•3•2 最后的乘1 写不写都一样 最后的乘1 写不写都一样 2! = 2 3! = 3•2 我可以接着写乘以 1 但刚才说了，写不写都一样 这个互相约掉 4 除以 2 等于 2 5•2 = 10 所以 C =10 右边等于 10/32 P = 10/32 当然我们还可以约分 但是我喜欢保留这样 因为每个式子都是32分之一 x=0 时， P= 1/32 x=1 时，P= 5/32 x=2 时，P= 10/32 我们继续 换橙色 随机变量 x =3 时， 概率是多少呢？ 随机变量 x =3 时， 概率是多少呢？ 这里还是5 抛5次里有3次是正面 抛5次里有3次是正面 这时的概率是多少 这里还是32种等可能结果 P = C（5选3）等于 5! 除以 3! • (5-3)! 我多写一步 (5-3)! C = 5! / 3! • 2! C = 5! / 3! • 2! 这和上面完全一样 只是2和3换了位置 所以这里还等于10 这里也是 P = 10/32 好了，就剩2个了 我猜你们也看出一些对称性了吧 我猜你们也看出一些对称性了吧 1、5、10、10…… 来继续，我还没用过白色 白色走起！ 随机变量 x =4 时的概率P 抛5次硬币，我们有4次是正面 抛5次硬币，我们有4次是正面 当然不是我们特意挑的正面 我们求解的是，“抛5次硬币，有4次是正面” 的概率 我们求解的是，“抛5次硬币，有4次是正面” 的概率 我们求解的是，“抛5次硬币，有4次是正面” 的概率 我们求解的是，“抛5次硬币，有4次是正面” 的概率 这里也是32个等可能结果 所以组合 C（5选4）等于 5! / 4! • (5-4)! C= 分子是 5! (5-4)! = 1! =1 乘1结果不变，消掉此项 乘1结果不变，消掉此项 其实就是 5! / 4! C=5 P =5/32 也可以这样推理 如果想要4次都是正面 相当于有1次反面 有5个不同的位置出现那1个反面 也就是有5个机会出现1个反面 5 除以32 个等可能结果 然后，你懂的 该做 x=5 了 因为5个正面就代表没有反面 因为5个正面就代表没有反面 在32个情况里只有1个符合 没有反面，都是正面 我们写下来 P (x=5) = P (x=5) = 5个正面 可以说就是5选5的组合C C（5选5） 除以32个等可能结果 C（5选5）= 我也写吧，反正前面的都写了 我也写吧，反正前面的都写了 C（5选5）= 5! / 5! • (5-5)! C（5选5）= 5! / 5! • (5-5)! (5-5)! = 0! =1 (5-5)! = 0! =1 5! / 5! = 1 所以 P =1/32 所以这里都是对称的，1/32和1/32、5/32和5/32、10/32和10/32 所以这里都是对称的，1/32和1/32、5/32和5/32、10/32和10/32 这都说得通，因为5次当中 出现5次正面的概率 = 反面0次的概率 = 正面0次的概率 出现5次正面的概率 = 反面0次的概率 = 正面0次的概率 出现5次正面的概率 = 反面0次的概率 = 正面0次的概率 本节课就讲到这里 下一节我将用图形化表示这个随机变量的概率分布