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主要内容

罚球的二项概率分布

小萨用二项式分布来计算多次罚球的概率。

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视频字幕

我们已经在前几个视频中 探索了当我们罚球多次的场景, 并算出在 6 次罚球或 n 次罚球中 得到 k 分的概率。 我们来定义一个随机变量。 用这个场景来看看, 我们能如何建立它的概率分布。 我们其实可以看到它是一个二项分布。 我们来定义一个随机变量 x。 这个 x 等于在 投6次罚球中 成功 投进 的次数 那么在这6次罚球中,你成功投进了多少次? 我们像在这个系列视频中的第一个视频一样, 来假设, 这些成功投进次数。 我们假设我们成功 投进罚球的概率是70%。 我们来假设 70%的罚球, 的罚球成功概率。 好的。 我们来算算 x 能真正取的不同值。 我们来看看, x 等于 0 的概率是什么? 虽然你成功 投进罚球的概率是70%, 你一个罚球都没有投进, 你其实可以不用华丽的统计学, 而用一些常识来 算出这个概率。 为了保持一致,我来把它写出来, 这就会是, 会等于在 6 次罚球中选择 0 乘以 0.7 的 0 次方, 乘以 0.3 的 6 次方。 这里最终会等于 1。 这里会最终等于 1。 所以,就还剩下 0.3 的 6 次方,我已经提前算好了。 我们把它凑整到 0.1, 如果我们把这个百分比凑整到最近的 0.1, 会给你大概, 大概,如果我们把它凑在凑整到 最近的 0.001, 我们会有一个几乎 接近 0.1%的几率 会在所有 6 次罚球中都失误。 所以我大概再说, 这里我们有 1000 分之 1 的几率 会在 6 次罚球中都失误。 那我们继续吧,这蛮有趣的呢。 那么我们随机变量 x 等于 1 的概率是多少? 会等于 6 选 1 乘以 0.7 的 1 次方, 乘以 0.3 的(6减1)次方, 那就是 5 次方 我提前算过这个,基本 等于 0.01, 或我们可以说,1%。 所以这还是一个比较低的概率。 比原来高了 10 倍, 但还是很低。 我们继续。 x 等于 2 的概率, 我们第一个视频基本已经讲过了, 会等于 6 选 2 乘以 0.7 的平方乘以 0.3 的 4 次方。 我们会看到这几乎会等于 0, 0.06,或是 6%。 很明显你也可以直接在计算机中打出来, 会得到一个更精准的答案。 但为了更好地理解 这些概率, 我就选择用了估算。 可以说,最接近的, 可能是 1% 的十分之一, 事实上如果你凑整到 0.1, 你会得到 6.0%,那么这里是 1.0%,因为在这里, 我们其实凑整到了 0.1,那么我们继续吧。 很显然我们需要多练习几遍。 我来确认我有足够的空间, 好的,那么我们随机变量 等于 3 的概率, 等于 6 选 3, 我相信你都可以自己填空了, 但我还是会继续, 0.7 的 3 次方 乘以0.3的(6-3)次方 也就是 3 次方,那就大约等于 大约等于 0.185 或 18.5%。 好的,这绝对在可能的范围内。 所有这些都在可能的范围内, 但已经开始成为一个较为显著的概率了。 那么让我们来算算 我们随机变量 x=4 的概率。 会等于 6 选 4 乘以 0.7 的 4 次方 乘以 0.3 的(6-4)次方, 或是 0.3 的平方, 会等于 大约等于,我选择 写的 不那么精准。 0.324。 那么,我们有大约 32.4% 的概率在 6 次罚球中正好投中 4 次。 好嘞,还有两个要算。 我看看,我还没有用紫色。 那么,随机变量等于 5 的概率, 等于 6 选 5 或 0, 有时我得说,0.7 的 5 次方 乘以 0.3 的 1 次方 会大概等于 0.303 也就是 30.3%。 蛮有意思的,还剩 1 个啦。 那么,我成功投进所有 6 次罚球的概率等于 等于 6 选 6 0.7 的 6 次方 乘以 0.3 的 0 次方, 那就是,这个会等于 1 这个会等于 1,所以 其实就是 0.7 的 6 次方 会大概等于 0.118 我已经提前算好了, 会等于 11.8, 11.8%。 所以,我们看到现在有很神奇的事情在发生。 我们第一次学习二项式分布的时候, 我们说,”嘿,我们会接近 一种顶峰然后回降,这其实是对称的“ ”但我在这里看不到对称性呀“ 你看不到对称的原因是, 你比起罚球失误,更有可能成功地投进一个罚球。 你有 70%的概率能投进这个罚球。 现在我们不再是在抛硬币。 你能在这些系数中看到对称, 如果你计算这些系数, 6 选 0 是 1。 6 选 0 是 1。 你会看到,6 选 1 是 6 6 选 5 是 6。 6 选 2 是 15, 6 选 4 也是 16。 6 选 3 是 20。 所以你一定看到了, 在这些系数中的对称, 但它们是有不同权重的, 因为你更有可能 成功投进而不是失误。 如果它们都是 0.5, 那么你会看到一个对称, 而且你可以画个图,来看看 这个案例的 概率分布长什么样。 我鼓励你去画这个图。 来从这些不同的案例中, 像我们在第一个抛硬币的 案例一样,画个图。 但这其实会给你 这个问题中随机变量的 分布图。 我刚用写的方式代替了画图, 它说,”好的, 这些都是这个随机变量可以 取的不同的值。 它无法取负数的值。 或它也不能是 10.5 或 π 或 1 百万。 这个随机变量只能取 7 个不同的值。 我刚把概率都告诉你了, 或者你可以说,这个随机变量 可能在这 7 个值中每个值取的 大约概率。