罚球的二项概率分布

我们已经在前几个视频中 探索了当我们罚球多次的场景， 并算出在 6 次罚球或 n 次罚球中 得到 k 分的概率。 我们来定义一个随机变量。 用这个场景来看看， 我们能如何建立它的概率分布。 我们其实可以看到它是一个二项分布。 我们来定义一个随机变量 x。 这个 x 等于在 投6次罚球中 成功 投进 的次数 那么在这6次罚球中，你成功投进了多少次？ 我们像在这个系列视频中的第一个视频一样， 来假设， 这些成功投进次数。 我们假设我们成功 投进罚球的概率是70%。 我们来假设 70%的罚球， 的罚球成功概率。 好的。 我们来算算 x 能真正取的不同值。 我们来看看， x 等于 0 的概率是什么？ 虽然你成功 投进罚球的概率是70%， 你一个罚球都没有投进， 你其实可以不用华丽的统计学， 而用一些常识来 算出这个概率。 为了保持一致，我来把它写出来， 这就会是， 会等于在 6 次罚球中选择 0 乘以 0.7 的 0 次方， 乘以 0.3 的 6 次方。 这里最终会等于 1。 这里会最终等于 1。 所以，就还剩下 0.3 的 6 次方，我已经提前算好了。 我们把它凑整到 0.1， 如果我们把这个百分比凑整到最近的 0.1， 会给你大概， 大概，如果我们把它凑在凑整到 最近的 0.001， 我们会有一个几乎 接近 0.1%的几率 会在所有 6 次罚球中都失误。 所以我大概再说， 这里我们有 1000 分之 1 的几率 会在 6 次罚球中都失误。 那我们继续吧，这蛮有趣的呢。 那么我们随机变量 x 等于 1 的概率是多少？ 会等于 6 选 1 乘以 0.7 的 1 次方， 乘以 0.3 的（6减1）次方， 那就是 5 次方 我提前算过这个，基本 等于 0.01， 或我们可以说，1%。 所以这还是一个比较低的概率。 比原来高了 10 倍， 但还是很低。 我们继续。 x 等于 2 的概率， 我们第一个视频基本已经讲过了， 会等于 6 选 2 乘以 0.7 的平方乘以 0.3 的 4 次方。 我们会看到这几乎会等于 0， 0.06，或是 6%。 很明显你也可以直接在计算机中打出来， 会得到一个更精准的答案。 但为了更好地理解 这些概率， 我就选择用了估算。 可以说，最接近的， 可能是 1% 的十分之一， 事实上如果你凑整到 0.1， 你会得到 6.0%，那么这里是 1.0%，因为在这里， 我们其实凑整到了 0.1，那么我们继续吧。 很显然我们需要多练习几遍。 我来确认我有足够的空间， 好的，那么我们随机变量 等于 3 的概率， 等于 6 选 3， 我相信你都可以自己填空了， 但我还是会继续， 0.7 的 3 次方 乘以0.3的（6-3）次方 也就是 3 次方，那就大约等于 大约等于 0.185 或 18.5%。 好的，这绝对在可能的范围内。 所有这些都在可能的范围内， 但已经开始成为一个较为显著的概率了。 那么让我们来算算 我们随机变量 x=4 的概率。 会等于 6 选 4 乘以 0.7 的 4 次方 乘以 0.3 的（6-4）次方， 或是 0.3 的平方， 会等于 大约等于，我选择 写的 不那么精准。 0.324。 那么，我们有大约 32.4% 的概率在 6 次罚球中正好投中 4 次。 好嘞，还有两个要算。 我看看，我还没有用紫色。 那么，随机变量等于 5 的概率， 等于 6 选 5 或 0， 有时我得说，0.7 的 5 次方 乘以 0.3 的 1 次方 会大概等于 0.303 也就是 30.3%。 蛮有意思的，还剩 1 个啦。 那么，我成功投进所有 6 次罚球的概率等于 等于 6 选 6 0.7 的 6 次方 乘以 0.3 的 0 次方， 那就是，这个会等于 1 这个会等于 1，所以 其实就是 0.7 的 6 次方 会大概等于 0.118 我已经提前算好了， 会等于 11.8， 11.8%。 所以，我们看到现在有很神奇的事情在发生。 我们第一次学习二项式分布的时候， 我们说，”嘿，我们会接近 一种顶峰然后回降，这其实是对称的“ ”但我在这里看不到对称性呀“ 你看不到对称的原因是， 你比起罚球失误，更有可能成功地投进一个罚球。 你有 70%的概率能投进这个罚球。 现在我们不再是在抛硬币。 你能在这些系数中看到对称， 如果你计算这些系数， 6 选 0 是 1。 6 选 0 是 1。 你会看到，6 选 1 是 6 6 选 5 是 6。 6 选 2 是 15， 6 选 4 也是 16。 6 选 3 是 20。 所以你一定看到了， 在这些系数中的对称， 但它们是有不同权重的， 因为你更有可能 成功投进而不是失误。 如果它们都是 0.5， 那么你会看到一个对称， 而且你可以画个图，来看看 这个案例的 概率分布长什么样。 我鼓励你去画这个图。 来从这些不同的案例中， 像我们在第一个抛硬币的 案例一样，画个图。 但这其实会给你 这个问题中随机变量的 分布图。 我刚用写的方式代替了画图， 它说，”好的， 这些都是这个随机变量可以 取的不同的值。 它无法取负数的值。 或它也不能是 10.5 或 π 或 1 百万。 这个随机变量只能取 7 个不同的值。 我刚把概率都告诉你了， 或者你可以说，这个随机变量 可能在这 7 个值中每个值取的 大约概率。