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主要内容

二项式概率示例

我们可以利用二项分布来找到成功的可能性,例如在固定次数的投篮,成功的投篮次数。我们使用二项分布来寻找离散概率。

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假设你知道自己的罚球命中率, 就是说你知道你投罚球时能命中的概率, 用投进和投失这两个词容易混淆, 我们说罚球时命中的概率, 比如说是 70%, 这是百分比形式, 或者写成 0.7, 这是用小数来表示。 我们说罚球投失的概率, 从上面的数直接可以算出来, 罚球时投失的概率, 就等于 100% 减去它。 要么命中,要么投失,只有这两种可能。 所以投失的概率是30%, 或者写成小数 0.3, 1 减它是 0.7。 只有这两种可能, 所以加起来必须是 100%,也就是 1。 现在你要罚球 6 次。 我们想知道的是, 在 6 次罚球中,恰好命中 2 次的概率。 好我们来看, 当然,老规矩, 如果你忽然有想法了, 就暂停视频,自己往下做。 这是我们要解决的问题, 6 次罚球中恰好命中 2 次的概率。 我们先考虑, 先考虑 6 次罚球命中 2 次是什么情况, 然后考虑每种情况发生的概率是多大, 然后考虑 6 次罚球命中 2 次共有多少种情况? 比如,你命中前两个, 命中,命中,之后的四次都投失。 所以是命中,命中,投失,投失,投失,投失。 这种情况发生的概率有多大呢? 我们看,第一球命中的概率是 0.7, 然后第二球命中的概率也是 0.7, 之后的四次罚球都是以 0.3 的概率投失。 所以这种情况发生的概率 就等于我写的这些。 这是乘号,希望你别看成小数点, 它比小数点的位置高一点。 乘以 0.3,等于多少呢? 它就等于, 等于 0.7 的平方 乘以 0.3 的 1,2,3,4, 4 次方。 6 次罚球命中 2 次只有这一种情况吗? 当然不是,还有很多种不同情况。 比如,第一个罚球投失,这是第一个罚球 然后第二个罚球投中,你命中了, 第三个罚球又投失, 比如说,第四个你又命中了, 然后,后两个你都投失了, 投失,投失。 这也是 6 次罚球命中 2 次的情况, 它的发生概率是多大呢? 其实还是它, 只是改变了乘法的顺序, 它等于 0.3 乘以 0.7 30% 概率投失第一球, 70% 概率命中第二球, 然后乘以 0.3,也就是 30% 的概率投失第三球, 乘以 70% 命中第四球的概率, 乘以最后两球各 30% 的投失概率。 这是体现了具体情况的算式, 它也就等于 0.7—— 把这些数重新排列一下, 就等于 0.7 平方 乘以 0.3 的 4 次方, 所以,6 球命中 2 球的每一种具体情况, 发生的概率都等于它。 那么 6 次罚球命中 2 次的概率 就等于每种情况发生的概率 乘以 6 球命中 2 球的所有情况数。 你一共罚球 6 次, 选其中 2 次算是命中, 有多少种方式呢? 没错, 这是排列组合, 所以可以这样写, 可以写成,我看看…… 一共要罚球 6 次, 那就是从 6 中选—— 我们是要从中选多少呢? 从中选择 2 个, 也就是里面要恰好有 2 次命中, 这样才能符合题目条件。 它告诉我们, 6 次罚球中恰好命中 2 次有多少种不同情况。 当然我们也可以 用二项式系数的表示法, 我们可以写为 6 取 2, 然后直接就可以用组合数公式了, 如果你完全没见过这个式子, 可以去查看可汗学院的组合数部分, 里面有这个公式的内部逻辑, 你会更好的理解。 它就等于 6 的阶乘 除以 2 的阶乘 乘以 6 减 2 的阶乘, 6 减 2 的阶乘。 这个阶乘号我还是用绿色, 它等于什么呢? 等于 6 乘以 5 乘以 4 乘以 3 乘以 2, 把 1 也写上, 虽然它不起什么作用。 除以 2 乘以 1, 6 减 2 等于 4, 所以是 4 的阶乘, 这是 4 的阶乘, 也就是 4 乘以 3 乘以 2 乘以 1。 好,这个和这个约掉, 6 除以 2 等于 3,所以它就等于 15。 所以,6 取 2 有 15 种不同取法, 有 15 种不同方式,从 6 个东西中取出 2 个, 或者理解为, 有 15 种不同的情况, 能满足 6 次罚球命中 2 次的条件。 而每种情况发生的概率 就等于这个。 6 次罚球恰好 2 次命中的概率, 女士们,先生们, 这个概率就等于 6 取 2 的组合,乘以 0.7 的平方, 这里是 2,因为命中 2 次, 然后 0.3 的 4 次方。 这两个指数加起来必须是 6, 所以如果这是 3, 这里就是 3, 后面这里就是 6 减 3, 所以也是 3。 所以它等于多少呢? 它等于…… 先是 15,3 乘以 5, 就是这部分。 它等于 15 乘以 我们看,黄色部分,0.7 乘以 0.7 所以是乘以 0.49, 然后, 3 的 4 次方等于 81, 但这是 4 个小数, 每个小数都往小数点后走 1 位, 所以,我需要从小数点向右走 4 位, 所以等于 0.0081。 把它算出来,就是最后的答案了, 我还是拿计算器来算吧, 它就等于, 我来算算, 它等于 15 乘以 0.49 乘以 0.0081 等于 0.059535, 所以这里等于, 我写下来, 这里地方再大点就好了, 没关系,我用显眼的颜色来写。 它等于, 最显眼的颜色都被用过了, 选个差不多的吧。 它就等于 0.05935, 这是精确值, 或者四舍五入一下,写成百分数, 约等于 6% 的概率, 6% 的可能性 6 次罚球恰好命中 2 次。 我没说命中 2 次以上, 说的是恰好命中 2 次。 这个概率挺小的, 因为我的罚球命中率很高。 如果罚球这么准, 那么在 6 次罚球中只命中 2 次的可能性, 确实会小,这很合理。