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彩票的预期利润

萨尔将结果乘以概率,以找到彩票的预期价值。 Sal Khan 创建

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视频字幕

爱民正在买彩票, 他必须挑选0-9 之间的两个数字 和26个英文字母中的一个字母。 他可以挑选两个同样的数字。 如果彩票的两个数字和一个字母 以及其顺序符合抽奖要求, 他会得到10405 元的大奖, 如果只是字母符合而两个数字中 有一个或两个都不符合, 他就会得到100元的小奖, 对所有其他的情况,他就输了,得不到任何回报。 这个彩票花费是5元。 对所有其他的情况,他就输了,得不到任何回报。 他挑选的彩票是 04R。 假如他付了5元来玩, 他选择的彩票是 04R, 我们定义一个随机变量 X, 这是一个随机变量, X 是玩这种彩票的净利润, 那么,什么是期望的-- 我们可以说, 从04R 的彩票中净盈利的期望值是什么? 爱民买的彩票就在这里, X 是一个随机变量, 它是买这张彩票净盈利值, 我们在这个视频中要考虑的, 就是它的期望值是什么。 04R 彩票的净盈利的期望值是什么? 我建议你们暂停视频, 自己好好想一想。 我们来考虑一下期望值。 期望值就是那些输出值的概率 乘以那些输出值。 大奖有它的概率, 我用红色把它写出来。 得到大奖有其概率, 我们要用它乘以它从大奖中得到的净收益。 那是多少? 他可以得到10405 元,但是这不是他的净收益, 或者说他的净盈利。 他的净盈利应该是他得到的钱减去他花费的钱。 他花了 5 元买彩票, 就是这样,加上得到小奖的概率 乘以小奖的收益, 小奖的奖金是 100 元。 或者说,乘以得到小奖的净盈利。 你的收益是100 减去购买奖票 5元的花费。 最后,还要求出不获奖的概率, 你什么都得不到时, 在这种情况下,净盈利是多少? 在这种情况下你的净盈利是 -5。 你花费 5元买奖票但是没有收入。 要想得到期望值, 你必须找出这些概率。 大奖的概率是什么? 我在这里求得到大奖的概率。 第一个数字正确的概率 是 1/10,这里有10个数字, 他的第二个数字正确的概率 是 1/10,它们都是独立的。 他的字母正确的概率, 有26个同样可能行的字母, 可供选择, 他有1/26的可能得到正确的字母。 得到大奖的概率是 1/2600, 这是 1/2600, 现在,得到小奖的概率是多少? 我们来看,他有 1/26 的机会 得到字母正确 而不是两个数字都正确, 他有 1/26 的机会得到正确的字母, 但是对于 1/26, 我们并没有做完整, 因为这个 1/26 它包含了所有的 字母正确的情况, 包括了他赢得大奖的情况。 也就是字母正确,两个数字也正确。 我们需要把这种情况减掉。 两个数字的概率-- 字母和两个数字都正确的概率-- 我们已经知道它是什么了, 它是 1/2600。 也就是 1/26 - 1/2600。 我必须减掉这个 1/2600 的原因 就是他有 1/26 的机会得到正确的字母 , 而它包括了所有的都正确的情形, 而得到小奖只是当你的字母正确并且只有1 个数字正确 或者两个数字都不正确, 如果你得到两个数字都正确, 你就是获大奖的情形了。 所以,你必须把 你得到三个都对 从而获得大奖的概率减掉, 这样才能找出获得小奖的概率。 现在,全输的概率是多少? 就是什么都得不到的概率, 它就是除了上面以外的所有情形, 它就是 1 减去 这里的这些概率。 它就是 1 减去 获得小奖的概率, 小奖的概率, 再减去获得大奖的概率, 这些是可能的输出, 它们的和是 1 或者是 100%。 这是 1 减去 小奖的概率 再减去大奖 或者我也可以说头奖的概率。 我们把它写进去。 小奖的概率是这个, --我用的红色太多了-- 这里是 1/26 减去 1/2600。 这是 1 减 小奖概率, 也就是 1/26 - 1/2600。 减去 1/2600。 我们可以进行简化, 1 - 1/26 加上 1/2600 减去 1/2600。 它俩相消,还剩 1 - 1/26 为什么这是有道理的? 如果这个字母错了,你就什么都得不到了。 你有 1/26 的机会得到正确的字母, 然后你可能得到这两种情形中的一个, 或者你有 1 -1/26 就是 25/26 有25/26 的概率得到错误的字母。 在这种情况下,你什么都得不到。 也就是你全输。 让我们用计算器把它算出来。 我们把它圆整到分。 这就是 1/2600乘以 10405减去 5 就是 10400, 乘以 10400, 这是你赢大奖的净盈利, 然后加上 1/26 - 1/2600 乘以你获小奖的净盈利, 就是 100 - 5 是 95, 最后加上 25/26 25/26, 我在这里加上括号, 让它们一致。 25/26 乘以净收益。 当你没有任何获奖时,你必须花费 5元, 你没有得到回报,乘以 -5。 我不知道计算器是否可以把它看作乘法, 我还是写上乘以 -5, 我把它删除,现在我们我们要有结果了。 圆整到分之后, 我们得到买奖票的盈利期望值是 2.81 元。 所有演算的结果是 2.81 元。 这是一个非常不常见的奖票游戏, 玩家会得到正的盈利期望值。 一般,运作彩票, 州或是赌场,不管是谁, 它们会有期望净盈利, 而玩家的期望是净亏损, 但是理性地说,这个彩票可以玩。 它和大部分彩票不一样, 如果你来买,你可以期望有 2.81 元的净盈利。