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离散随机变量的方差和标准差

求出离散随机变量的方差和标准差.

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视频字幕

在上一个视频里, 我们定义了这个随机变量x: 一个离散随机变量。 它只能取有限量的值。 我当时把它定义为我一周内 去健身的次数。 我们可以计算出 随机变量x的期望值。 我们也可以把期望值叫做x的平均值, 并用希腊字母μ来表示。 μ一般代表总体平均值。 我们只要计算 各种不同结果的 概率加权求和。 对于这个随机变量 和它对应的概率分布, 我们计算出了平均值为2.1。 我们现在要做的是把这个概念 延伸到到分散程度上。 所以我们会思考 这个随机变量的方差, 并取根号下方差 来计算出标准差。 我们计算的方式 和我们过去计算方差的方式 有些相似。 所以随机变量x的 方差是这么算的: 我们会计算出每个值 和平均值之间的差别, 取差的平方 然后乘上这个结果的 概率, 比如说对于这第一个数据点, 你可以算出0减去2.1后平方 乘上得到0的概率, 也就是乘上0.1, 然后你接着算, 加1减去2.1然后平方 乘上得到1的概率, 也就是0.15, 然后你可以算出 加1减去2.1然后平方 乘上得到2的概率, 也就是0.4, 然后你会算出 加3减去2.1然后平方 乘上0.25, 最后你会算出 加4减去2.1然后平方 乘上0.1 再次强调, 每个结果和平均值 之间的差 要被平方并乘上 得到这个结果的概率。 所以这将会是-2.1的平方 也就是2.1的平方 所以我就把它写成2.1平方 乘上0.1。 这是第一项。 接着我们要加上 1减去2.1等于 -1.1, 接着我们取它的平方, 所以也就是1.1的平方, 也就是1.21,但是我可以就写成 1.1平方 乘上0.15。 接着这个是2减去2.1 等于-0.1, 然后你取平方就会得到 +0.01。 算出-0.1乘上-0.1, 等于0.01,乘上0.4, 乘上0.4, 然后加上,这是 0.9的平方,所以这是0.81 乘上0.25。 我们就要算完了。 这等于加1.9平方 1.9平方乘上0.1。 我们得到1.19。 所以这就等于 1.19。 如果我们想要得到 这个随机变量的标准差, 我们可以把它写成希腊字母σ. 随机变量x的标准差 等于方差开根号, 根号下1.19, 等于,让我们用一下计算器, 所以我们会取我们刚刚算出的 1.19开根号, 我们就得到 大约1.09。 大约1.09。 那么让我们看看这合不合理。 让我把这些都放在一条数轴上。 那么你可以看到结果: 0,1, 2,3, 还有4。 所以你有10%的概率得到0。 那么我会画成这样。 让我们假设这是10%的高度。 你有15%的概率得到1, 所以大约是1又1/2倍高。 所以它就大概会看起来像这样。 你有40%的几率得到一个2。 那就是 像这样。 你有40%的几率得到一个2。 你有25%的几率得到一个3。 像这样。 接着你有10%的概率得到一个4。 像这样。 所以这就是一个 离散随机变量的图像化过程。 我没有画出纵坐标, 但是这会是0.1,这是0.15, 这是0.25,这是0.4。 所以我们可以看到平均值是2.1。 平均值是2.1, 这很合理。 虽然这个随机变量 只取正整数,你还是可以有一个 非整数的平均值。 那么标准差就是1.09。 所以平均值加上1.09等于 大约3.2, 平均值减去1.09等于大约1. 所以至少从直觉上来说这很合理。 这个平均值看上去 确实指向了这个概率分布的中心趋势。 而标准差看上去 确实是一个 合理的分布量。