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几何随机变量期望值的证明

几何随机变量期望值的证明.

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这里是一个典型的 几何随机变量 定义它为获得一个成功的概率 所需的独立试验的数量 其中成功概率用小写p表示 之前也见过,是在介绍 几何随机变量的时候 这个视频的目的是讨论 几何随机变量的期望值 像这样的几何随机变量 我会告诉你答案 在未来的视频,我们会用这个公式 这个视频里,实际上我们要 用数学的方法来证明。 几何随机变量的期望值 将是1除以成功的概率 在给定的试验中。 现在来证明。 任何随机变量的期望值 是概率加权的结果 可以说概率... 随机变量的概率等于1 乘1加 随机变量等于2的概率,乘2 加... 你大概就明白了 一直持续 几何随机变量只能含有 1,2,3,4,之类的数值 不会有数值0 因为成功不可能基于 没有任何试验的情况下。 那这等于多少呢? 这将等于, 第一次就 成功的概率是多少? 我写在这里 将是P 这是什么? 这是我们没有成功的概率 在第一次试验中,但我们第二次试验成功了? 这是1减P 这是第一次试验我们没有成功的 乘第二次试验成功了的 我再多写几项。 擦掉一些,再多写一点 这是X等于2的概率 对不起,X等于3乘3 然后持续相乘的概率 这是多少? X等于3的概率 要有2次不成功的试验 两次不成功试验的概率 是1减p的平方 然后像这样一次成功的试验 这样你就知道大意了 我来重新写这个 可以稍微简便一些 期望值,至少在这个证明里, X的期望值等于 写成1p加2p乘1-p 加3p乘1-p的平方 然后永远持续这样做 这些求和是多少? 现在做一点 数学的技巧,都是合理的 如果你们看过 取一个无穷几何级数的证明的话, 我们只需要用一个简单的技巧 在这里我想做的是想想 1-p乘这个期望值是多少 来做一下 1-p乘x的期望值 等于多少? 我会把这些项都乘起来 乘1-p 这是1p乘1-p 等于1p乘1-p 得到的在这里 2p乘1-p呢 等于多少? 将是2p乘1-p 现在我们要用1-p再乘一次。 得到1-p的平方 你应该知道接下来要发生什么 我们持续相加相加 从这里开始一直相加 现在我们做一些有趣的事情 至少从数学角度看是这样的 如果这个等于它 如果左手边等于右手边, 我们两边同时减去这个值 左手边剩下 x的期望值 减去这个,减去1减去p 乘x的期望值 我在这边减去它 在那边也减去它 我可以在这个式子里减去 这是相等的 我会减去这个 得到的是什么? 让我们看看 我将有1减p 如果我减去1p乘1-p 从2p乘1-p里减去 剩下的是加1p 乘1-p 如果我减去它 剩下的是1p乘1-p的平方 持续这样做 让我简化一下 如果把这个负数放到这里 变成正的,然后这将是p减1 如果我把x的期望值放在这里, 在左手边得到的是这样的 ——向上滚动一点 不想挤的太紧 我们有x的期望值 加上p乘x的期望值 p乘x的期望值 减去x的期望值、 这些抵消了 等于p加p乘1-p 加p乘1-p的平方 我们继续这样做 在左手边我们有的是 p乘x的期望值 如果要解x的期望值的话, 我在两边同时除以p 得到很干净的数学式子, 现在两边都除以p 左手边我有x的期望值 如果除以p 第一个项变成1 第二个项是1-p 第三个项,如果除以p 等于加1-p的平方,之后诸如此类 这样就好了 这是一个经典的几何级数 公倍数是1 - p 如果这个对于你来说很陌生 我建议你,这个是几何—— 其中的一个原因 为什么它被称为几何随机变量, :但我鼓励你们复习一下什么是等比级数 在可汗学院上,如果这看起来很陌生 其他地方我们证明了它 ——用的是一个非常相似的技术 来证明这个求和等于 1除以1-公倍数 我们的公倍数是1-p 这等于多少? 我们已经到了最后冲刺阶段了 等于1除以1减去1加p 1减1加p 等于p分之1 我们证明了 一个几何随机变量的期望值 用了一些,我认为很酷的数学 最后等于p分之1