示例: 转换离散随机变量

- [讲师]阿努什在玩狂欢节游戏， 有两次自由投篮的机会。 下面的表格显示了X的概率分布。 X是阿努什在两次投篮中的投中次数， 表格还有一些汇总统计数据。 所以这里是随机变量X 它是一个离散的随机变量。 只取有限数的值。 有时也可以说它取可数的 数值。 我们可以看到，投中数是零， 一，或者两个都中。 而他投中零次的概率在这里。 一次是这里，两次是这里。 然后题目也给了我们X的平均值 和X的标准差。 然后题目告诉我们，如果这个游戏要花阿努什15美元来玩的话 他每投中一次球就能赢10美元。 他玩游戏的净收益N的 平均值和标准差是多少？ 让我们来定义一个新的随机变量N。 这等于他的净收益。 净收益。 我们可以用X来定义N。 他的净收益将是多少呢？ 让我们看看，N，它等于10乘以 他投中球的次数。 所以它是10乘以X。 然后不管怎样，他都要付15美元来玩。 减去15。 事实上，我们可以在这里画一个 关于N的概率分布的小表格。 让我在这里画出来。 这个表格和上面的格式是一样的。 N等于净收益。 而这里我们有N的概率。 这里有三种情况。 对应他投中零次， 10乘以0减去15。 得到-15的净收益。 概率和上面的一样，是0.16。 当他投中一球时，净收益将是 10乘以1减去15 也就是，-5。 有和上面相同的概率。 他有48%的机会投中一球。 也就是有48%的机会输掉5美元。 最后， 当X是2时，他的净收益将是+5。 +5。 这是一个0.36的概率。 所以题目想让我们弄清楚的是。 他的净收益的 平均值以及标准差是多少？ 所以我们先来算算 N的平均值。 如果你对一个随机变量进行缩放 那么相应的平均值 也会以同样的数量进行缩放。 如果你对一个随机变量进行增减， 那么相应的平均值 也会以同样的数量进行增减。 所以N的平均数将是 X的平均数的10倍 减去15。 也就是等于10乘以1.2减去15。 1.2 所以是12减去15，等于 等于-3。 N的标准偏差 会略有不同。 对于标准差来说，缩放变量会带来改变。 如果你对一个随机变量进行缩放， 那么相应的标准差 也会以同样的数量进行缩放。 所以这将等于 X的标准差的10倍。 现在你可能会问，那如何处理这里的增减呢？ 增减变量不影响 随机变量的离散情况。 如果你要对随机变量进行缩放， 离散程度增长的数量应该是 你缩放的数量。 但是对随机变量进行增减，不会改变 数据对于平均数的离散程度。 所以标准差只受到缩放的影响， 而不受增减的影响。 所以这是10乘以 0.69， 等于 这是个近似值。 所以我说这大约 是6.9。 所以这就是我们的净收益的分布。 这是我们净收益的平均值。 这是我们净收益标准差的近似值。