转换 (缩放和移动) 随机变量的影响

我们有一个随机的变量x 或许它代表 商场里随机一个人的身高 或者类似的 这里，我们有对应的概率分布 我把它画成一个钟形曲线 代表着正态分布 但是它可以是很多种分布 但是为了更可视 这个例子里它是正态分布 我同时画出来这个分布的平均值 就在这里 我也同时画出了大于平均值的一个标准差 和小于平均值的一个标准差 我们在这个视频中 将考虑这个分布如何…… 尤其是 如果我们加入随机的变量 或者按照比例改变变量 平均值和标准差会被如何影响 让我们首先考虑 如果我们加入另一个随机变量会发生什么 让我们再有一个变量y y等于这边的变量x 再加上一个常数 加上…… 我们会加上某些常数 小写的k吧 这不是一个随机变量 这是一个常数 它可以是10 如果这些是 商场随机人选的身高 出于某种原因 你想给每个人都加10英寸 或许你想知道 人们带着头盔的身高 或者增高帽，或任何的 这会如何影响 y的平均值和标准差 和x有什么关系 我们可以画一下 y的分布看起来是…… 与其是这样 这个分布的中心…… 平均值不再是在中心 而是向上平移k个单位 事实上，我们可以移动…… 整个分布会 向右平移k这么多 或许k很大 看起里是这个样子 这是随机变量y的分布 你可以看到 整个分布向右移动了k个单位 我们向右移动了k个单位 如果k是负数，我们要向左移动 或者我们要减去k 很明显这会影响平均值 平均值会大出k这么多 我们可以写一下 随机变量y的平均值 等于x的平均值 x的平均值加k 加k 在这边可以看到 那么标准差变化了吗？ 还记得吗，标准差是 测量到平均值的距离 这是不会变的 我们的随机变量x 这里，这个长度 是一个标准差 这里也是一样 是一个标准差 这是一个标准差 这里是一样的 和随机变量y的标准差是一样的 y的标准差 随机变量y的（标准差） 等于随机变量x的标准差 如果你只是加上一个随机的变量 它会改变平均值但是不会改变标准差 你可以直观的看到 如果成比例的改变一个随机变量呢？ 假设我们有另外一个随机变量 就叫它z吧 z等于一个常数 常数 * x k并不是一个随机变量 k只是一个数字 它可以是数字2 让我们想一下会发生什么 让我从新画一下随机变量x的分布图 如果k等于2 这个分布图会 会成倍增长 它会被拉长两倍 因为面积必须是1 所以曲线会 以二倍变平来确保同样的面积 我可以在这边画一下 （画图中）我来试试，首先我这样画 （画图中）哦豁，首先我把它弄短一点 让我把它的高度除以2 更重要的是，它会被 拉长两倍 （画图中）让我把坐标对齐这里 （画图中）这样我们就可以欣赏它 看起来大概是这个样子 （画图中）它看起来像这样 （画图中）如果你按照随机倍数缩放 随机变量z的分布图 看起来是这个样子 我用z的颜色再画一下 你可以看到两件事 第一，平均值的变化 平均值被推了出去 它肯定被成倍的改变了 同时，标准差也被成倍的改变了 z的标准差 这被成倍的改变了 是以k倍的大小 所改变的 这里应该是 k乘随机变量x的标准差 这里的平均值 让我写一下 随机变量z的平均值 等于…… 也是被成倍的改变 将会是 k乘随机变量x的平均值 最重要的就是 如果你有一个随机变量 是在另一个变量上 增加常数 它会使平均值移动k个单位 但是不会影响标准差 如果你要成倍的…… 如果你要用一个随机变量乘一个常数 来得到另一个随机变量 那么它会影响标准差 会成倍的改变 同时也会影响平均值