错误的后果和显著性

显著性检验通常使用显著性水平 $\alpha =0.05$‍, 但是在某些情况下用不同的显著性水平可能更合理. 改变 $\alpha$‍ 将会影响第一类和第二类错误的概率. 在某些测试中, 一种类型的错误可能会比另一种类型的错误产生更严重的后果. 在这样的情况下我们可能会想要选择一个不同的 $\alpha$‍ 值.

第一类错误指的是我们拒绝了正确的零假设(亦称原假设). 较小的 $\alpha$‍值会使得零假设更难被拒绝, 所以选择较小的 $\alpha$‍ 的值可以减少第一类错误的概率. 不过选择更小 $\alpha$‍ 值的后果是, 如果零假设是错误的, 那么要拒绝它可能会更难. 所以选择更小的 $\alpha$‍ 值会增加第二类错误的概率.

第二类错误指的是我们没有拒绝一个错误的零假设. 更大的 $\alpha$‍ 值会使得零假设更容易被拒绝, 所以选择较大的 $\alpha$‍ 的值可以减少第二类错误的概率. 不过选择更大的 $\alpha$‍ 的值的后果是, 如果零假设是正确的, 那我们犯第一类的错误的概率会增加 (拒绝一个正确的零假设).

让我们通过几个例子来说明为什么有时我们应该选择一个更高或更低的显著性水平.

一家健康俱乐部的员工每天对俱乐部里的游泳池的水质进行测试. 如果污染物的含量太高, 他们就会暂时关闭游泳池来进行水质处理.

我们可以对他们的测试作出两个对立的假设——$H_0:$‍ 水质是可以接受的；$H_{\text{a}}:$‍ 水质不能被接受.

因为其中一种错误涉及到更严重的安全问题, 俱乐部考虑使用非 $0.05$‍ 的 $\alpha$‍ 值来进行水质测试.

小刚自己开了一个卖食品的小摊, 他在选择营业的城市. 他想要在申请许可之前先对某城市的居民进行调查来确保需求足够高能支撑他的产业. 他只会选择有足够有力的证据证明需求高的城市.

我们可以对他的调查作出两个对立的假设—— $H_0:$‍ 需求不够高；$H_{\text{a}}:$‍ 需求足够高.

小刚认为第一类错误比第二类错误对他的产业造成的损失更大. 他想用一个非 $\alpha =0.05$‍ 的显著性水平来减少第一类错误的概率.