根据 p 值得出结论

本文旨在提供一部分教学和大量的练习. 这些问题会随着你的学习进度巩固你的理解, 所以最好按照顺序去完成它们. 前进!

我们通过 $p$‍ 值来在显著性测试中得出结论. 具体来说, 我们将 $p$‍ 值与显著性水平 $\alpha$‍ 作比较, 来对假设作出结论.

如果 $p$‍ 值比我们选择的显著性小, 那么我们拒绝零假设 $H_0$‍ 并接受备选假设 $H_{\text{a}}$‍. 如果 $p$‍ 值比我们选择的显著性水平高, 那我们不能拒绝零假设 $H_0$‍—但这并不意味着我们接受 $H_0$‍. 总结如下:

让我们尝试几个需要用 $p$‍ 值来得出结论的例子.

小红设计了一个实验, 实验对象从四个不同的水杯中尝水并试着指出哪个杯子里的是瓶装水. 每个实验对象会拿到三个盛有自来水的水杯和一个盛有瓶装水的水杯 (顺序是被打乱的). 她想测试这些实验对象是否能比随机猜更准确的识别哪个是瓶装水.

她的假设是 $H_0:p=0.25$‍ 对比 $H_{\text{a}}:p>0.25$‍ (这里的 $p$‍ 值表示的是实验对象能准确识别瓶装水的真实可能性).

实验结果显示 $60$‍ 个实验对象中的 $20$‍ 个准确的识别出了瓶装水. 小红计算出实验统计数据 $\hat{p}={\displaystyle \frac{20}{60}}=0.\overline{3}$‍ 以及它对应的 P 值大约是 $0.068$‍.

一种肥料上标识了它含有 $7.25\text{ 千克}$‍, 但是这些肥料实际包含的量是一个平均数为 $7.4\text{ 千克}$‍ 的正态分布, 标准差为 $0.15\text{ 千克}$‍.

这个肥料公司安装了新的填充机器, 他们想做一个测试来检查每包肥料的质量的平均值是否发生了变化. 他们的假设是 $H_0:\mu =7.4\text{ 千克}$‍ 对比 $H_{\text{a}}:\mu \ne 7.4\text{ 千克}$‍ (这里的 $\mu$‍ 值表示的是新机器填充的肥料包的质量的真实平均数).

他们随机选择了 $50$‍ 包肥料并观察到了样本平均值 $\overline{x}=7.36\text{ 千克}$‍ 和标准差 $s_x=0.12\text{ 千克}$‍. 他们计算出这些结果的 P 值大约是 $0.02$‍.

这些例子展示了对于同样的数据, 选择使用不同的显著性水平 $\alpha$‍, 将会得到不同的结论. 在实际运用中, 我们应该在实际收集任何数据之前, 先设置好假设和显著性水平. 根据不同误差的影响, 选择特定的显著性水平, 后续的视频和练习中将讲述这部分.