主要内容

课程: 统计和概率 > 单元 3

课程 4: 总体的方差与标准差

概念检查：标准差

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六个问题将帮助你更深入地了解标准差。

介绍

下面的问题可以帮助你更好地深入思考标准差和相关公式。

与大部分可汗学院的问题不同，这些问题里一部分将不会被电脑批改。想要学到更多，点击“解释”之前务必自主思考。

公式 (用于参考)

标准差（SD）的公式为

$SD = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

其中

\sum

表示 "求和"，

x

是数据集里的一个值，

\bar{x}

是数据集的均值，而

n

是数据点的数量。

第一部分

思考下面简单的数据集合

{1, 4, 7, 2, 6}

。

将 $7$ ‍ 替换为 $12$ ‍，标准差怎样被改变了？

关于标准差，我们可以得出什么样的结论？

标准差如何被改变了？

标准差变大因为数据更加分散。

我们如何从公式中看出这个事实？

我们可以从公式中看出

$SD = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

因为

\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}

是每个数据距离中位数的平方的和。当数据更加分散时，

\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}

的值变大了。

我很困惑，数据集合的实际标准差是什么呢？

{1, 2, 4, 6, 7}

的标准差约为

2.28

。

{1, 2, 4, 6, 12}

的标准差约为

3.90

。

第二部分

想要创造一个标准差为 $0$ ‍的四个点的数据集合是可能的吗？

如果可以，那就写下来！你可以创建两个不同的数据集合吗？三个呢？

当然！这是可能的。

实际上，存在无穷多个组合满足这个条件。

这有一个：

$5, 5, 5, 5$ ‍

这是另一个：

$8, 8, 8, 8$ ‍

所有数据点都是一样的任何数据集合标准差都是

0

因为所有数据点到平均数的距离都是

0

。

尝试一下 ${5, 5, 5, 5}$ ‍.

第一步：求平均值

\bar{x} = \frac{5 + 5 + 5 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5

第二步：求每个数据点到平均值的距离的平方

$x$ ‍		$\| x - \bar{x} \|^{2}$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍

第三步：代入公式

\begin{aligned} SD & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}} \\ = \sqrt{\frac{0 + 0 + 0 + 0}{4}} \\ = \sqrt{\frac{0}{4}} \\ = \sqrt{0} \\ = 0 \end{aligned}

第三部分

标准差可以为负数吗？

为什么？
提示：想想公式。

第四部分

标准差衡量了数据的分布

你觉得偏差意味着什么？

第五部分

这是标准差 (SD) 和平均绝对离差 (MAD) 的公式，两个都表述了数据的分布：

$SD = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

$MAD = \frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |}{n}$ ‍

二者相同和不同之处是什么？

第六部分

这是我们一直使用的标准差公式：

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

这是统计学家会用的公式：

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} (x - \bar{x})^{2}}{n}}$ ‍

两个公式相等吗？

两个公式有什么不同之处？

在两个公式里，我们要求的是

x - \bar{x}

的绝对值:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} {| x - \bar{x} |}^{2}}{n}}$ ‍

在统计学家是用的公式里，我们在

x - \bar{x}

旁边画上括号:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} (x - \bar{x})^{2}}{n}}$ ‍

公式相等吗？

对，二者相等！

统计学家意识到平方会让距离变成正数，所以他们不使用绝对值而用多加的括号。

举例，我们测试一下

| x - \bar{x} |^{2}

和

(x - \bar{x})^{2}

当

x = 2

和

\bar{x} = 5

$| x - \bar{x} |^{2} = | 2 - 5 |^{2} = | - 3 |^{2} = 3^{2} = 9$ ‍

$(x - \bar{x})^{2} = (2 - 5)^{2} = (- 3)^{2} = 9$ ‍

两个都是正! They're both都是

9

! 他们是相等的！

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介绍

公式 (用于参考)

第一部分

标准差如何被改变了？

我们如何从公式中看出这个事实？

我很困惑，数据集合的实际标准差是什么呢？

第二部分

当然！这是可能的。

尝试一下 ${5, 5, 5, 5}$ ‍.

第一步：求平均值

第二步：求每个数据点到平均值的距离的平方

第三步：代入公式

第三部分

不，标准差不可以为负数！

第四部分

第五部分

有什么相同？

有什么不同？

哪个更好？

第六部分

两个公式有什么不同之处？

公式相等吗？

想加入讨论吗？