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主要内容

使用三角恒等式

三角函数恒等式,例如sin²θ+cos²θ=1 可用于以不同,更方便的方式重写表达式。 例如, (1-sin²θ)(cos²θ) 可以改写为 (cos²θ)(cos²θ), 然后写成 cos⁴θ. Sal Khan 创建

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我们来做几个 三角几何表达式的简化例题。 我们有 1-sin(θ)平方, 它们乘以cos(θ)平方, 我们怎样来简化它? 我们知道一个公式, 它是三角恒等式中最基本的公式, 它是从单位圆得出的, 这个公式就是 cos(θ)平方 + sin(cos(θ)平方 = 1 那么,如果我们从两边减去sin(θ)平方 我们就得到 cos(θ)平方 等于 1-sin(θ)平方。 这样,我们有两个选择, 我们或者可以 用cos(θ)平方代替 1-sin(θ)平方, 或者我们可以 用 1-sin(θ)平方代替这个cos(θ)平方 我们想用前面这一个, 因为这个表达式更复杂一些。 如果我们用cos(θ)平方代替它, 我们就能简化它, 我们来看, 它就是cos(θ)平方 乘以另一个cos(θ)平方, 所有这些简化成 cos(θ)乘以cos(θ)乘以cos(θ)乘以cos(θ), 这就是 cos(θ)的4次方。 我们再做另一个例题, 我们有 sin(θ)平方 除以 1-sin(θ)平方。 它等于什么? 我们已经知道 1-sin(θ)平方 和 cos(θ)平方是相等的, 所以这就是 sin(θ)平方除以它, 而它与 cos(θ)平方是相同的, 我们看到,除以cos(θ)平方, 它就等于-- 你可以把它看成是 sin(θ)/cos(θ) 然后,它的值乘方。 而sin(θ)/cos(θ)是什么? 它就是 tan(θ)。 所以,它等于 tan(θ) 平方。 我们再做一个例题。 我们有cos(θ)平方加上 1 减 -- 我们这样-- 加上 1 + sin(θ)平方, 它等于什么? 你或许被诱惑了, 特别是我用不同颜色的这种写法, 我们想一想,有没有 1+ sin(θ)平方的三角恒等式? 但是这题主要是关于怎样重新安排顺序, 从而意识到根据单位圆的定义, 我们知道cos(θ)平方+sin(θ)平方等于什么, cos(θ)平方+sin(θ)平方, 对于任何 θ,它等于 1, 所以,它就等于 1加上这里的这个1, 它等于 2。