使用三角恒等式来找到三角函数值

在这个视频中， 我要找到 sin(7π/12) 的值， 而不能用计算器。 我们来看看 单位圆上的 7π/12， 这个角的一个边沿着正 x 轴的方向， 然后我们看， 如果走到垂直向上的位置，这是 π/2， 它与 6π/12 相同， 这样，我们还有一个 π/12， 就是到这里， 这就是我们要讨论的角度。 这就是 7π/12， 它的 正弦， 根据单位圆的正弦定义， 它是这个射线与单位圆 交点的 y 坐标。 这是单位圆， 它的半径是 1， 它在这里与单位圆相交， 这个 y 坐标就是它的正弦。 从另一个角度考虑， 就是这条直线的长度。 我建议你们现在暂停视频， 自己来考虑一下。 看看你们是否可以用你们三角学的能力， 来确定 sin(7π/12) 是什么， 或者说找到这个洋红色的直线长度是什么。 我想你们已经开始考虑了， 如果你们和我一样， 你们首先会尝试的 就是集中精力研究这个三角形， 我把它画在这里了。 这个三角形是这样的， 它是这样的。 你们要想找到的， 是这个长度， sin(7π/12)， 我们知道斜边的长度是 1， 它是单位圆的半径， 这是一个直角三角形， 我们也知道这个角度， 就是这个角度， 这个角度是 6π/12， 我们还有一个 π/12， 所以我们知道，它是 π/12， 不是 π/16， 我们知道这个角是 π/12 已知这些信息， 我们就可以找到它。 至少，我们可以 应用三角函数，找到这条边和这个角的关系。 这是邻边， cos(π/12) 就是这个洋红色的边长除以 1。 你也可以说，它等于这个洋红色的边。 也就是说，它等于 cos(π/12)。 我们刚刚确认了 sin(7π/12) 和 cos(π/12)是相同的。 但是这还是没有能帮到我， 没有计算器，我不知道 cos(π/12) 是什么。 我们换个思路， 看看我们能不能组合这个角， 或者我们是不是能把这个角分解成几个角， 而我们知道这些角的正弦和余弦。 这是些什么角呢？ 它们就是一些特殊的直角三角形的角， 例如， 我们对 30-60-90 的三角形非常熟悉， 30-60-90-三角形是这样的， 这是我徒手能画出得最好情况了， 我不写 30度， 因为我们都是考虑它的弧度， 我要写出 π/6 弧度， 而对于 60度，我要把它写成 π/3 弧度， 当然这是一个直角， 如果这个斜边是 1， 那么 30度角的对边 或者说 π/6 弧度的对边， 就是 斜边的一半。 在这种情况下，它就是 1/2， 而另一边，也就是 60度角的对边， 或者说 π/3 弧度的对边， 就等于 3 的平方根乘以 短边。 它就是3 的平方根 除以 2。 过去，我们已经用过这样的三角形 来确定30度或者 60度的正弦和余弦， 在这里 就是 π/6 和 π/3 的正弦和余弦。 我们知道 π/6 和 π/3， 我们还知道 45-45-90 三角形， 我们知道它是等腰三角形， 它们是这样的， 尽量画得好一点， 这实际上看着不等腰， 让我画得更好一些， 怎么搞的？ 这就比较接近等腰直角三角形了， 我们知道，如果斜边是 1， 根据勾股定理， 这两个边的长度 就是 2 的平方根除以 2 乘以斜边， 在这种情况下，就是 2 的平方根除以2。 我们不用 45度来表示， 我们知道它和 π/4 是相同的， π/4 弧度。 如果你给我 π/6，π/3，π/4， 我就可以用这些角度， 应用它的传统定义， SOH CAH TOA 定义， 或者把它们贴在单位圆上， 应用单位圆上的三角函数定义， 从而确定这些角的 正弦，余弦和正切。 我可以把 7π/12 分解成 π/6，π/3 或者 π/4 的组合吗？ 想一想。 我来把 π/6， π/3 和 π/4 写成 分母为12 的形式， 我们来写一下， π/6 等于 2π/12， π/3 等于 4π/12， π/4 等于 3π/12。 我们看看， 2 加 4 不等于 7， 2 加 3 不等于 7， 但是 4 加 3 等于 7。 所以我可以用 它和它。 4π/12 + 3π/12 等于 7π/12 我可以重写它， 它和 sin(3π/12 +4π/12) 相同， 当然这就是 sin(π/4 -- 我用另外的颜色， sin(π/4 + 这样， + π/3） 现在我们可以用我们的正弦和角公式， 把它写成这些角的 正弦余弦的乘积的和。 我们来做一下。 这里，它等于 它就等于 sin(π/4)乘以 cos(π/3) 加上--它们反过来--， cos(π/4) 乘以 sin(π/3) sin(π/3)。 现在，我们只需要确定这些值， 我已经做好了这些三角形。 sin(π/4) 等于什么？ sin(π/4)， 我们想想， π/4 在这里， 正弦就是对边比斜边， 它就是 2的平方根除以 2， 根 2 除以 2， 根 2 除以 2。 cos(π/3) 等于什么？ 这就是 π/3 弧度， 余弦就是 邻边除以斜边， 它是邻边除以斜边， 它就是 1/2， cos(π/4) 是什么？ 再回到 π/4， 它是邻边除以斜边， 就是 2 的平方根除以 2 ， 它也是 2的平方根除以 2 ， 根 2 除以2， sin(π/3) 等于什么？ 正弦是对边除以斜边， 就是 3的平方根除以 2 除以 1， 根 3 除以 2 再除以 1， 这就是根 3 除以 2， 现在我们只需要简化这些项。 它就是这些项的和， 我应该说是这些项的乘积， 就是 2的平方除以 4， 然后，加上它们的乘积。 看看， 我们可以写成 6 的平方根除以 4， 6 的平方根除以 4， 或者我们把所有这些写成-- 这里，我们应该接着往下做， 它就等于-- 我们向右移一下， 它就等于 2 的平方根 加上 6 的平方根 然后它们除以 4 。 这就是 sin(7π/12) ， 或者 cos(π/12) 的值等于什么。