主要内容
三角函数
使用三角恒等式来找到三角函数值
Sal把sin(7π/12)写成了sin(π/3+π/4),然后用了正弦角相加公式找到来它的值。 由 Sal Khan 创建
视频字幕
在这个视频中, 我要找到 sin(7π/12) 的值, 而不能用计算器。 我们来看看 单位圆上的 7π/12, 这个角的一个边沿着正 x 轴的方向, 然后我们看, 如果走到垂直向上的位置,这是 π/2, 它与 6π/12 相同, 这样,我们还有一个 π/12, 就是到这里, 这就是我们要讨论的角度。 这就是 7π/12, 它的 正弦, 根据单位圆的正弦定义, 它是这个射线与单位圆 交点的 y 坐标。 这是单位圆, 它的半径是 1, 它在这里与单位圆相交, 这个 y 坐标就是它的正弦。 从另一个角度考虑, 就是这条直线的长度。 我建议你们现在暂停视频, 自己来考虑一下。 看看你们是否可以用你们三角学的能力, 来确定 sin(7π/12) 是什么, 或者说找到这个洋红色的直线长度是什么。 我想你们已经开始考虑了, 如果你们和我一样, 你们首先会尝试的 就是集中精力研究这个三角形, 我把它画在这里了。 这个三角形是这样的, 它是这样的。 你们要想找到的, 是这个长度, sin(7π/12), 我们知道斜边的长度是 1, 它是单位圆的半径, 这是一个直角三角形, 我们也知道这个角度, 就是这个角度, 这个角度是 6π/12, 我们还有一个 π/12, 所以我们知道,它是 π/12, 不是 π/16, 我们知道这个角是 π/12 已知这些信息, 我们就可以找到它。 至少,我们可以 应用三角函数,找到这条边和这个角的关系。 这是邻边, cos(π/12) 就是这个洋红色的边长除以 1。 你也可以说,它等于这个洋红色的边。 也就是说,它等于 cos(π/12)。 我们刚刚确认了 sin(7π/12) 和 cos(π/12)是相同的。 但是这还是没有能帮到我, 没有计算器,我不知道 cos(π/12) 是什么。 我们换个思路, 看看我们能不能组合这个角, 或者我们是不是能把这个角分解成几个角, 而我们知道这些角的正弦和余弦。 这是些什么角呢? 它们就是一些特殊的直角三角形的角, 例如, 我们对 30-60-90 的三角形非常熟悉, 30-60-90-三角形是这样的, 这是我徒手能画出得最好情况了, 我不写 30度, 因为我们都是考虑它的弧度, 我要写出 π/6 弧度, 而对于 60度,我要把它写成 π/3 弧度, 当然这是一个直角, 如果这个斜边是 1, 那么 30度角的对边 或者说 π/6 弧度的对边, 就是 斜边的一半。 在这种情况下,它就是 1/2, 而另一边,也就是 60度角的对边, 或者说 π/3 弧度的对边, 就等于 3 的平方根乘以 短边。 它就是3 的平方根 除以 2。 过去,我们已经用过这样的三角形 来确定30度或者 60度的正弦和余弦, 在这里 就是 π/6 和 π/3 的正弦和余弦。 我们知道 π/6 和 π/3, 我们还知道 45-45-90 三角形, 我们知道它是等腰三角形, 它们是这样的, 尽量画得好一点, 这实际上看着不等腰, 让我画得更好一些, 怎么搞的? 这就比较接近等腰直角三角形了, 我们知道,如果斜边是 1, 根据勾股定理, 这两个边的长度 就是 2 的平方根除以 2 乘以斜边, 在这种情况下,就是 2 的平方根除以2。 我们不用 45度来表示, 我们知道它和 π/4 是相同的, π/4 弧度。 如果你给我 π/6,π/3,π/4, 我就可以用这些角度, 应用它的传统定义, SOH CAH TOA 定义, 或者把它们贴在单位圆上, 应用单位圆上的三角函数定义, 从而确定这些角的 正弦,余弦和正切。 我可以把 7π/12 分解成 π/6,π/3 或者 π/4 的组合吗? 想一想。 我来把 π/6, π/3 和 π/4 写成 分母为12 的形式, 我们来写一下, π/6 等于 2π/12, π/3 等于 4π/12, π/4 等于 3π/12。 我们看看, 2 加 4 不等于 7, 2 加 3 不等于 7, 但是 4 加 3 等于 7。 所以我可以用 它和它。 4π/12 + 3π/12 等于 7π/12 我可以重写它, 它和 sin(3π/12 +4π/12) 相同, 当然这就是 sin(π/4 -- 我用另外的颜色, sin(π/4 + 这样, + π/3) 现在我们可以用我们的正弦和角公式, 把它写成这些角的 正弦余弦的乘积的和。 我们来做一下。 这里,它等于 它就等于 sin(π/4)乘以 cos(π/3) 加上--它们反过来--, cos(π/4) 乘以 sin(π/3) sin(π/3)。 现在,我们只需要确定这些值, 我已经做好了这些三角形。 sin(π/4) 等于什么? sin(π/4), 我们想想, π/4 在这里, 正弦就是对边比斜边, 它就是 2的平方根除以 2, 根 2 除以 2, 根 2 除以 2。 cos(π/3) 等于什么? 这就是 π/3 弧度, 余弦就是 邻边除以斜边, 它是邻边除以斜边, 它就是 1/2, cos(π/4) 是什么? 再回到 π/4, 它是邻边除以斜边, 就是 2 的平方根除以 2 , 它也是 2的平方根除以 2 , 根 2 除以2, sin(π/3) 等于什么? 正弦是对边除以斜边, 就是 3的平方根除以 2 除以 1, 根 3 除以 2 再除以 1, 这就是根 3 除以 2, 现在我们只需要简化这些项。 它就是这些项的和, 我应该说是这些项的乘积, 就是 2的平方除以 4, 然后,加上它们的乘积。 看看, 我们可以写成 6 的平方根除以 4, 6 的平方根除以 4, 或者我们把所有这些写成-- 这里,我们应该接着往下做, 它就等于-- 我们向右移一下, 它就等于 2 的平方根 加上 6 的平方根 然后它们除以 4 。 这就是 sin(7π/12) , 或者 cos(π/12) 的值等于什么。