余弦角加法等式证明

上个视频中，我们证明了 正弦角加法公式 你可以想象，这个视频中 我们要进行余弦角加法公式的证明 或者说，cosine x+y 等于cosine x，consine y 减去 正弦加法里面是正号，这里是负号 减去 sine x， sine y 我们用同样的方法来证明 和正弦加法的证明过程一样 我鼓励你现在暂停视频 或者任何你觉得想到办法的时候， 来看看是否可以自己推导出来 如果我们在证明sine x+y时候做的 cosine x+y等于多少？ 在这个图中，应该等于什么？ x+y，是这里这个角， 如果我们看直角三角形ADF，cosine x+y 是邻边F除以斜边 AF除以斜边，或者说，因为斜边为1， 所以，AF除以1，就是AF cosine x+y就是这个线段的长度 线段AF的长度 这里的这个，等于这里的这个 让我把它写出来 线段AF的长度等于cosine x+y 我们来想下如何计算 我们这样考虑 这个图中，有另外一个直角 如果我们能够计算出这个，或者AF 我这么写 这个，也就是AF，等于 我这么写，它等于线段AB的长度 它等于线段AB的长度 也就是这里整个线段 减去线段FB长度 减去这里这段 减去FB的长度 从我们cosine加法公式的形式， 你可能会猜， 哪个是AB，哪个是FB？ 如果我们可以证明AB等于这个 如果我们可以证明FB等于这个，那么就搞定了 因为我们知道cosine x+y 也就是AF，等于AB减去FB 如果我们可以证明这个，它等于这个减这个 我们来看下它们实际是什么？ AB是什么？ 我们看直角三角形ACB 我们从上个视频知道， 因为三角形ADC的斜边为1 这个长度为1，AC就是cosine x AB是多少，想下， AB是这个角y的邻边， 我们可以说cosine，我写这里 我们可以说，因为我已经考虑过 我们可以说，cosine y cosine y等于它的邻边 邻边的长度 它是线段AB除以斜边， 除以cosine x 或者，将两边同时乘以cosine x 得到线段AB长度等于cosine x cosine x 乘以cosine y， 这个正好是我们要证明的 我们证明了AB就是 线段AB的长度， 就等于cosine x 乘以cosine y 这个部分等于cosine x cosine y 现在我们要证明这个线段FB 它等于sine x sine y 这里的这个部分看上去比较独特 它不是任何一个直角的部分 不在我已经画出的 这些直角里面 我们可以从图形ECBF看到它是矩形 我们使用正弦角加法 证明中得到的结论 我们这里同样可以用， 因为它告诉我们FB等于EC ED等于多少？ 我们这里有角y 角y的对边是多少？ 我们要包含sine 我们知道这个是sine y 看这里，它等于 对边的长度，也就是EC的长度 也就是EC的长度除以斜边 也就是sine x 我们从上个视频得到了 如果这个是X，对边除以斜边就是sine x 斜边为1 所以，对边等于sine x 现在将两边同时乘以sine x 我们就得到想要的了 EC等于sine x 乘以sine y 再次，EC就是 它的长度等于FB 我们刚刚演示了线段FB 等于sine x 乘以sine y 它等于这里这个 再次， cosine x+y 等于线段AF 等于线段AB长度减去 线段FB长度 也就是等于，我们已经证明了 线段AB长度是cosine x consine y 减去线段FB长度， 也就是sine x sine y，证明完毕