求解sin(x)=d形式的正弦方程

讲述者：下列哪些选项是 包含在sin(x)=1/3的解集中的？ 答案近似到最接近的百分位。 选择所有符合条件的选项。 我建议你现在暂停这个视频 并且试着自己求解。 我假设你已经自己尝试过求解了。 让我们来思考一下题目问的是什么。 题目问的是X的值是多少？ 它的解集是什么？ 哪些是可能的X的值 能够使得sin(x)等于1/3？ 为了帮助我们从视觉上理解， 让我们画一个单位圆。 这是我的Y轴。 这里的这个是我的X轴。 这里是X=1。 这里是Y=1。 X轴上的负1， 以及Y轴上的负1。 这个单位圆，我把它的中心放在0点上。 它的半径是1， 半径是1，我们需要再次提醒自己 sin函数在单位圆上的定义是什么。 如果我们有某个角，这个角的一条边 将会是沿着正X轴方向的一条射线， 如果我们用一种颜色画出来你就会看到， 沿着正X轴。 然后在另一边，让我们看看， 这里这个就是我们的角。 假设它的角度是theta。 这个角的sin就是 这条射线与单位圆相交的交点的 Y坐标。 这里的这个，它就是 sin(theta)。 在复习过这个之后， 让我们想想什么样的X的值， 并且我们假设我们用的是弧度。 什么样的X的值会使得当我取它的sin值的时候 我会得到1/3？ 在单位圆上的什么位置Y等于1/3？ 这里是2/3，1/3在这里。 我们可以看到它在正好两个位置上等于1/3， 这里和这里。 所以有两个角度，或者至少两个角度， 如果我们分别取单位圆上 的这两个位置。 然后我们就可以不停的加2π的倍数 就会得到我们所需要的解。 我们可以从单位圆上看到一个解是这个角度。 另一个解是这里的这个角度。 或者我们也可以转一整圈 到这个角度。 然后我们可以加上任何倍数的2π 就可以从一个角度得到另一个角度 因为如果我取另一个角度的sin 我也会得到1/3所以这个是可行的。 现在让我们想一想这些角度是多少。 这里我们就可以拿出计算器， 然后我们可以取1/3的反正弦函数。 让我们这么做。 1/3的反正弦函数。 我们需要记住反正弦函数的 值域是什么。 它会给我们一个在负π/2到 正π/2之间的一个数， 也就是一个第一象限的值 或者一个第四象限的值 对应的就是单位圆上的两个点。 我们得到的答案是零点， 如果我们近似到最接近的百分位， 0.34。 我们得到的就是这个值。 计算器给我们的答案是0.34。 这也就是这里的这个角度。 我是怎么知道的？ 首先，它是正的。 它大于零， 但是小于π/2。 π是3.14，所以π/2是 1.57...，我们不是特别在乎后面的位数 所以这里的这个角度是 0.34弧度。 但是这里的这个角度又是什么呢？ 它的值就是 如果我们沿着负X轴 减去0.34 所以我们减去0.34。 这是0.34。 我们就会得到这个角度。 也就是如果我们取π 减去之前的答案，我们就会得到 近似到最接近的百分位， 就是2.8弧度。 这是0.34弧度，然后这里的这个， 让我用紫色写， 这里的这个如果我们要 转一大圈， 它就等于π减去0.34也就是2.80弧度 近似到最接近的百分位。 现在我们得到的并不是所有的值。 我们可以在这两个值上分别加上2π的倍数。 也就是2.80加整数倍的2π， 也就是2πN，其中N是一个整数。 N是一个整数。 或者我们可以取0.34并且加上整数倍的 2π。 也就是2πN，其中N是一个整数。 我们的解集就是这个 让我重新整理一下 也就是2.80弧度加2πN 其中N是一个整数。 以及0.34加2πN，其中N是一个整数。 让我们看看其中的哪些 是一个子集。 我们先看0.34加2πN其中N是一个整数。 这完全符合我们刚刚写在这里的。 也就是0.34。 如果N是一个正整数我们是沿着这个方向前进 然后我们会一直回到相同的这一点。 如果N是一个负整数我们是沿着另一个方向前进。 我们也会一直回到相同的这一点， 但是这肯定是解集中的一部分。 0.34加πN其中N是一个整数。 那么如果我们从0.34开始然后我们每次不是加 2π，而只是π那么我们会到什么位置？ 实际上，我们会到达这里的这一点。 这一点的sin并不会是正1/3。 这一点是负1/3。 所以我们可以把这个选项排除。 负0.34，是这里的这个角度。 它的sin将会是负1/3。 如果你在这个基础上加上整数倍的2π， 你仍然会得到负1/3 所以这个也不对。 这里的这个也是一样的情况。 2.8加2πN，就是我们在这里写的这个。 一直到2.8。 并且任何整数倍的2π都会 让你回到同一点所以这个是一个解。 2.8加πN，那么如果你在这里 然后如果你加π你就会到这一点， 并且它的sin不等于正1/3。 它会是负1/3 所以我们也可以排除这一项。 只有这两项是符合的， 并且如果你把这两项组合在一起 你就能得到这道题目的 完整的解集。