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主要内容

三角函数

课程: 三角函数 > 单元 3

课程 3: 解三角形
数学
三角函数
三角函数和一般三角形
解三角形
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正弦和余弦定理回顾

Google课堂
回顾正弦定理和余弦定理，然后运用他们去解决有关三角形的问题。

正弦定理

start fraction, a, divided by, sine, left parenthesis, alpha, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, b, divided by, sine, left parenthesis, beta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, c, divided by, sine, left parenthesis, gamma, right parenthesis, end fraction

余弦定理

c, squared, equals, a, squared, plus, b, squared, minus, 2, a, b, cosine, left parenthesis, gamma, right parenthesis
想了解更多关于正弦定理吗？看看这个视频.
想了解更多关于余弦定理？看看 这个视频.

练习集 1: 使用正弦定理求解三角形

此定理适用于在给定角度和两条边的情况下寻找缺失角度, 或在给定两个角度和一边时寻找缺失的一边。

例子一: 求出缺失的边

让我们在已知的三角形中找到 A, C :
根据正弦定理, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis, end fraction. 现在, 我们可以带入值并解出问题:
ABsin⁡(∠C)=ACsin⁡(∠B)5sin⁡(33∘)=ACsin⁡(67∘)5sin⁡(67∘)sin⁡(33∘)=AC8.45≈AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(\angle C)}&=\dfrac{AC}{\sin(\angle B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8.45&\approx AC \end{aligned}

例子二: 求出缺失的角度

让我们在已知的三角形中找到 m, angle, A :
根据正弦定理, start fraction, B, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, A, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction. 现在, 我们可以带入值并求解:
BCsin⁡(∠A)=ABsin⁡(∠C)11sin⁡(∠A)=5sin⁡(25∘)11sin⁡(25∘)=5sin⁡(∠A)11sin⁡(25∘)5=sin⁡(∠A)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{AB}{\sin(\angle C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\angle A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\angle A) \end{aligned}
使用计算器并求出接近的值:
m, angle, A, equals, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 11, sine, left parenthesis, 25, degrees, right parenthesis, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 68, point, 4, degrees
请记住, 如果缺少的角度是钝角, 我们需要用180, degrees减去我们从计算器得到的值。
问题1.1
  • 当前
B, C, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

保留小数点后一位.

想做更多此类练习? 点击 练习.

练习集 2: 使用余弦定理求解三角形

在给定所有边长的情况下, 该定理主要用于求出未知角度。当给出另一边和一个角度测量时, 它也有助于求解未知的边。

例子一: 求出一个角

让我们在已知的三角形中找到 m, angle, B :
根据余弦定理:
left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, B, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis
现在, 我们可以带入值并求解:
(5)2=(10)2+(6)2−2(10)(6)cos⁡(∠B)25=100+36−120cos⁡(∠B)120cos⁡(∠B)=111cos⁡(∠B)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(\angle B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\angle B) \\\\ 120\cos(\angle B)&=111 \\\\ \cos(\angle B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
使用计算器并求出接近的值:
m, angle, B, equals, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 111, divided by, 120, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 22, point, 33, degrees

例子二: 求出未知的边

让我们在已知的三角形中找到 A, B :
根据余弦定理:
left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, C, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis
现在, 我们可以带入值并求解:
(AB)2=(5)2+(16)2−2(5)(16)cos⁡(61∘)(AB)2=25+256−160cos⁡(61∘)AB=281−160cos⁡(61∘)AB≈14.3\begin{aligned} (AB)^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (AB)^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14.3 \end{aligned}
问题2.1
  • 当前
m, angle, A, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
degrees
四舍五入求出最接近的值.

想做更多此类练习? 点击 练习.

练习集 3: 普通三角形问题

问题3.1
  • 当前
"只剩余一个" 莱恩在他的藏身之处向他的兄弟发出信号.
马特点头表示知道, 并锁定最后一个机器人。
"34 度." 马特回复到,并告知莱恩和机器人之间的角度.
莱恩记录下了这个数值 (如下图) 并且进行计算. 用他的激光炮校准之后, 瞄准并且开火.
莱恩校准激光炮的距离是多少？
在计算过程中不要舍入。把最后的答案四舍五入到最近的米数.
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
start text, space, m, end text

想要练习更多此类问题? 点击 这个练习.

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