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主要内容

特殊三角形的三角之比

学习如何得到 45-45-90 三角形以及 30-60-90 三角形的正弦、余弦与正切。
至此,我们已经使用计算器计算了 sine, cosine, 和 tangent。但是,不用计算器也有可能计算某些特定角度的三角函数。
这是因为有两类 特殊三角形,我们知道其边长比 !这两类三角形是 45-45-90 三角形和 30-60-90 三角形。

特殊三角形

30-60-90 三角形
30-60-90 三角形是有 30, degrees 度角和 60, degrees 度角的直角三角形。
45-45-90 三角形
45-45-90三角形是有两个 45, degrees 度角的直角三角形。

30, degrees的三角形比例

我们现在要对这些特殊三角形进行函数计算。先从30, degrees开始。
研究下面的例子,看看是如何计算的。

sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis是什么?

这有一个例子:
第1步: 画一个含有特殊角度的特殊三角形。
第2步: 根据特殊三角形的边长比例,标出各边的长度。
第3步: 使用三角函数的定义去找到各公式的值。
sin(30)=对边 斜边=x2x=1x2x=12\begin{aligned} \sin (30^\circ) &= \dfrac{\text{对边 }}{\text{斜边}} \\\\ &= \dfrac{x}{2x} \\\\ &= \dfrac{1\maroonD{\cancel{x}}}{2\maroonD{\cancel{x}}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}
注意你可以把 x 想成 1, x ,所以这样就非常清楚了 start fraction, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.
用同样的方法来求 cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesistangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis

cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis是什么?

tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis是什么?

45, degrees的三角形比例

我们来试一下计算 45, degrees角。 我们可以画出一个 45-45-90三角形并标出各边。

cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis是什么?

sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis是什么?

tangent, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis是什么?

60degrees的三角函数

用来计算特殊角30, degrees, 45, degrees, 和 60, degrees 的三角函数的方法是相同的。
虽然我们还没有明确显示出如何计算60, degrees的三角函数,但我们有所需要的所有信息。

cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis是什么?

sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis是什么?

tangent, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis是什么?

总结

我们计算了 30, degrees, 45, degrees, 和 60, degrees的三角函数。 下表总结了我们的结论。
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesissine, left parenthesis, theta, right parenthesistangent, left parenthesis, theta, right parenthesis
theta, equals, 30, degreesstart color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 3, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 3, end square root, end fraction, end color #1fab54
theta, equals, 45, degreesstart color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ffstart color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ffstart color #aa87ff, 1, end color #aa87ff
theta, equals, 60, degreesstart color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54start color #1fab54, square root of, 3, end square root, end color #1fab54
这些值在高等三角函数里会经常出现。因此,记住它们会有很大帮助。
有些人会选择死记硬背,但也没必要。在这篇文章里,你自己算出来的数值,所以希望未来你需要它们的时候,你也能算出来。