勾股定理性质介绍

有一个直角三角形， 底边的长度是a，高的长度是b， 斜边长度是c。 看到这样的三角形，我们已知一些结论。 根据勾股定理， 我们已知a，b，c之间的关系， 也就是a²加上b² 等于斜边长度的平方， 即等于c²。 这个视频中， 我们将探索 如何将三角函数和勾股定理联系起来。 为了弄清它们的联系，我们选择一个非直角。 记这个角为θ， 接着我们思考一下θ的正弦值 和余弦值分别是什么， 接着我们试着利用勾股定理 对正余弦值做一些变换和计算。 在这之前，我先把正弦，余弦和正切写下来， 回顾一下这些三角函数的定义。 正弦是对边比斜边。 余弦是邻边比斜边。 正切是对边比邻边。 至少在这个视频中，我们不会用到正切。 先考虑θ的正弦值。 我用蓝色写。 θ的正弦值是什么？ 对边比邻边， 因此θ的正弦值是b的长度， 或者直接等于b（b就是长度） b比斜边的长度，也就是c。 θ的余弦值是什么？ 邻边， 也就是构成这个角的两条边中不是斜边的那条，它的长度是a。 余弦是邻边的长度 比对边的长度。 接着该如何将两者联系起来？ 看起来如果把θ的正弦平方， 就会得到sin² θ 等于b² / c²。 cos² θ 等于a² / c²。 看起来可以把它们相加 就会得到形式和勾股定理很接近的式子。 我们来试试看。 sin² θ = b² / c²。 我只是把两端同时平方了。 cos² θ = a² / c²。 两者之和是多少？ 即sin² θ加上cos² θ的结果是什么？ 和等于多少？ sin² θ是b² / c²， 再加上a² / c²， 结果等于—— 二者有公分母c²。 而分子等于b²加上a²。 b²加上a²是多少？ 结果就写在这里， 勾股定理告诉我们，b²加上a² 或者a²加上b²等于c²。 因此这里的分子就可以化简为c²。 那么这个表达式就是c² / c²， 也就是1。 这里我们用了正弦余弦正切的定义，在之后的视频中， 我们还会用到单位圆的定义。 但是可以看到， 仅仅通过三角函数中正弦余弦正切的定义， 我们就可以得出 可能是所有三角恒等式中最重要的一个式子。 也就是θ的正弦值，一个角的正弦值， 加上这个角的余弦值 （我不小心混入了橙色） 等于1。 你可能会说， 这看起来很酷，但是这有什么大不了的？ 我们为什么要关心这个？ 重要的是，当一个角的正弦值已知时， 可以通过这个等式解出这个角的余弦值， 反过来也一样。 因此这是个非常厉害的式子。 这甚至也是 引入三角函数单位圆定义的动机的一部分。