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主要内容

勾股定理性质介绍

讲师介绍并证明了一个从勾股定理中推出的性质:(sinθ)^2+(cosθ)^2=1. Sal Khan 创建

视频字幕

有一个直角三角形, 底边的长度是a,高的长度是b, 斜边长度是c。 看到这样的三角形,我们已知一些结论。 根据勾股定理, 我们已知a,b,c之间的关系, 也就是a²加上b² 等于斜边长度的平方, 即等于c²。 这个视频中, 我们将探索 如何将三角函数和勾股定理联系起来。 为了弄清它们的联系,我们选择一个非直角。 记这个角为θ, 接着我们思考一下θ的正弦值 和余弦值分别是什么, 接着我们试着利用勾股定理 对正余弦值做一些变换和计算。 在这之前,我先把正弦,余弦和正切写下来, 回顾一下这些三角函数的定义。 正弦是对边比斜边。 余弦是邻边比斜边。 正切是对边比邻边。 至少在这个视频中,我们不会用到正切。 先考虑θ的正弦值。 我用蓝色写。 θ的正弦值是什么? 对边比邻边, 因此θ的正弦值是b的长度, 或者直接等于b(b就是长度) b比斜边的长度,也就是c。 θ的余弦值是什么? 邻边, 也就是构成这个角的两条边中不是斜边的那条,它的长度是a。 余弦是邻边的长度 比对边的长度。 接着该如何将两者联系起来? 看起来如果把θ的正弦平方, 就会得到sin² θ 等于b² / c²。 cos² θ 等于a² / c²。 看起来可以把它们相加 就会得到形式和勾股定理很接近的式子。 我们来试试看。 sin² θ = b² / c²。 我只是把两端同时平方了。 cos² θ = a² / c²。 两者之和是多少? 即sin² θ加上cos² θ的结果是什么? 和等于多少? sin² θ是b² / c², 再加上a² / c², 结果等于—— 二者有公分母c²。 而分子等于b²加上a²。 b²加上a²是多少? 结果就写在这里, 勾股定理告诉我们,b²加上a² 或者a²加上b²等于c²。 因此这里的分子就可以化简为c²。 那么这个表达式就是c² / c², 也就是1。 这里我们用了正弦余弦正切的定义,在之后的视频中, 我们还会用到单位圆的定义。 但是可以看到, 仅仅通过三角函数中正弦余弦正切的定义, 我们就可以得出 可能是所有三角恒等式中最重要的一个式子。 也就是θ的正弦值,一个角的正弦值, 加上这个角的余弦值 (我不小心混入了橙色) 等于1。 你可能会说, 这看起来很酷,但是这有什么大不了的? 我们为什么要关心这个? 重要的是,当一个角的正弦值已知时, 可以通过这个等式解出这个角的余弦值, 反过来也一样。 因此这是个非常厉害的式子。 这甚至也是 引入三角函数单位圆定义的动机的一部分。