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主要内容

反三角函数的简介

学习反正弦,反余弦,反正切,和如何用他们求出直角三角形的角。
让我们来看看一种新的三角学问题。有趣的是 这些问题不能用正弦、余弦或正切来解决。
问题: 在下面的三角形中,L 角是多少度?
我们所知道的: 相对于 angle, L, 我们知道对边和邻边的长度,所以我们可以写:
tangent, left parenthesis, L, right parenthesis, equals, start fraction, start text, o, p, p, o, s, i, t, e, end text, divided by, start text, a, d, j, a, c, e, n, t, end text, end fraction, equals, start fraction, 35, divided by, 65, end fraction
但这无法帮助我们求 angle, L 的长度。我们遇到困难了!
我们需要什么: 我们需要新的数学工具来解决类似的问题。我们的老朋友正弦、余弦和正切都不能完成任务。它们使用角度给出边长比值,但我们需要用边长比值求角度。我们需要 反三角函数 !

反三角函数

我们已经了解逆运算。例如,加法和减法是逆运算,乘法和除法是逆运算。每个操作都与其逆运算相反。
这个概念在三角学里一样适用。逆三角函数与"常规"的三角函数相反。 例如:
  • 反正弦 left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis 与正弦相反。
  • 反余弦 left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis 与余弦相反。
  • 反转正切 left parenthesis, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis 与正切相反。
一般来说,如果你知道三角比而不是角度,你可以用相应的反三角函数来求出这个角。以下是数学上的表达。
三角函数输入角和输出边长比三角函数输入角和输出边长比
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, 对, 边, end text, divided by, start text, 斜, 边, end text, end fractionright arrowsine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, 对, 边, end text, divided by, start text, 斜, 边, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, 侧, 边, end text, divided by, start text, 斜, 边, end text, end fractionright arrowcosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, 侧, 边, end text, divided by, start text, 斜, 边, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, 对, 边, end text, divided by, start text, 侧, 边, end text, end fractionright arrowtangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, 对, 边, end text, divided by, start text, 侧, 边, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta

容易混淆的地方!

表达式 sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesisstart fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction 不同。换句话来说,第一个表达式中的 minus, 1 不是一个指数,而是代表反函数。
函数图象
sine, left parenthesis, x, right parenthesis
sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis (也称作 \arcsin, left parenthesis, x, right parenthesis
start fraction, 1, divided by, sine, x, end fraction (也称作 \csc, left parenthesis, x, right parenthesis
然而我们可以用另外一种方法来表达反函数,以避免这个陷阱!反正弦也可以表示为\arcsin,反余弦也可以表示为\arccos,而反正切可以表示为\arctan。这些表达方式在电脑编程语言中很常见,但在数学上比较少见一些。

解决入门问题

在入门的问题中,我们已知对边和邻边的边长度,所以我们可以用反正切来求角度。
mL=tan1( 对边  临边)定义。mL=tan1(3565)代入数值mL28.30用计算器得出答案\begin{aligned} { m\angle L}&=\tan^{-1} \left(\dfrac{\blueD{\text{ 对边 }} }{\maroonC{\text{ 临边}}}\right)&{\gray{\text{定义。}}} \\\\ m\angle L&=\tan^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)&{\gray{\text{代入数值}}} \\\\ m\angle L &\approx 28.30^\circ &{\gray{\text{用计算器得出答案}}}\end{aligned}

现在我们试着练习几道题。

问题1
已知triangle, K, I, P,求 m, angle, I
将答案进到百分位。
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
degrees

问题2
已知triangle, D, E, F,求 m, angle, E
将答案进到百分位。
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
degrees

问题3
已知triangle, L, Y, N,求 m, angle, Y
将答案进到百分位。
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
degrees

挑战题
解出以下三角形。 即,找出所有未知的边和未知的角度。
将答案进到百分位。
O, E, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
m, angle, O, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
degrees
m, angle, Z, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
degrees