主要内容
反三角函数的简介
学习反正弦,反余弦,反正切,和如何用他们求出直角三角形的角。
让我们来看看一种新的三角学问题。有趣的是 这些问题不能用正弦、余弦或正切来解决。
问题: 在下面的三角形中,L 角是多少度?
我们所知道的: 相对于 angle, L, 我们知道对边和邻边的长度,所以我们可以写:
但这无法帮助我们求 angle, L 的长度。我们遇到困难了!
我们需要什么: 我们需要新的数学工具来解决类似的问题。我们的老朋友正弦、余弦和正切都不能完成任务。它们使用角度给出边长比值,但我们需要用边长比值求角度。我们需要 反三角函数 !
反三角函数
我们已经了解逆运算。例如,加法和减法是逆运算,乘法和除法是逆运算。每个操作都与其逆运算相反。
这个概念在三角学里一样适用。逆三角函数与"常规"的三角函数相反。 例如:
- 反正弦 left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis 与正弦相反。
- 反余弦 left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis 与余弦相反。
- 反转正切 left parenthesis, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis 与正切相反。
一般来说,如果你知道三角比而不是角度,你可以用相应的反三角函数来求出这个角。以下是数学上的表达。
三角函数输入角和输出边长比 | 三角函数输入角和输出边长比 | |
---|---|---|
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, 对, 边, end text, divided by, start text, 斜, 边, end text, end fraction | right arrow | sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, 对, 边, end text, divided by, start text, 斜, 边, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, 侧, 边, end text, divided by, start text, 斜, 边, end text, end fraction | right arrow | cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, 侧, 边, end text, divided by, start text, 斜, 边, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, 对, 边, end text, divided by, start text, 侧, 边, end text, end fraction | right arrow | tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, 对, 边, end text, divided by, start text, 侧, 边, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
容易混淆的地方!
表达式 sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis 和 start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction 不同。换句话来说,第一个表达式中的 minus, 1 不是一个指数,而是代表反函数。
函数 | 图象 |
---|---|
sine, left parenthesis, x, right parenthesis | |
sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis (也称作 \arcsin, left parenthesis, x, right parenthesis) | |
start fraction, 1, divided by, sine, x, end fraction (也称作 \csc, left parenthesis, x, right parenthesis) |
然而我们可以用另外一种方法来表达反函数,以避免这个陷阱!反正弦也可以表示为\arcsin,反余弦也可以表示为\arccos,而反正切可以表示为\arctan。这些表达方式在电脑编程语言中很常见,但在数学上比较少见一些。
解决入门问题
在入门的问题中,我们已知对边和邻边的边长度,所以我们可以用反正切来求角度。