主要内容

课程: 三角函数 > 单元 1

课程 4: 使用三角比求解直角三角形中的角度

反三角函数的简介

学习反正弦，反余弦，反正切，和如何用他们求出直角三角形的角。

让我们来看看一种新的三角学问题。有趣的是这些问题不能用正弦、余弦或正切来解决。

问题： 在下面的三角形中，

L

角是多少度？

我们所知道的: 相对于

∠ L

, 我们知道对边和邻边的长度，所以我们可以写：

\tan (L) = \frac{opposite}{adjacent} = \frac{35}{65}

但这无法帮助我们求

∠ L

的长度。我们遇到困难了!

我们需要什么： 我们需要新的数学工具来解决类似的问题。我们的老朋友正弦、余弦和正切都不能完成任务。它们使用角度给出边长比值，但我们需要用边长比值求角度。我们需要 反三角函数 !

反三角函数

我们已经了解逆运算。例如，加法和减法是逆运算，乘法和除法是逆运算。每个操作都与其逆运算相反。

这个概念在三角学里一样适用。逆三角函数与"常规"的三角函数相反。例如:

反正弦 $(\sin^{- 1})$ ‍ 与正弦相反。
反余弦 $(\cos^{- 1})$ ‍ 与余弦相反。
反转正切 $(\tan^{- 1})$ ‍ 与正切相反。

一般来说，如果你知道三角比而不是角度，你可以用相应的反三角函数来求出这个角。以下是数学上的表达。

三角函数输入角和输出边长比		三角函数输入角和输出边长比
$\sin (θ) = \frac{对边}{斜边}$ ‍	$\to$ ‍	$\sin^{- 1} (\frac{对边}{斜边}) = θ$ ‍
$\cos (θ) = \frac{侧边}{斜边}$ ‍	$\to$ ‍	$\cos^{- 1} (\frac{侧边}{斜边}) = θ$ ‍
$\tan (θ) = \frac{对边}{侧边}$ ‍	$\to$ ‍	$\tan^{- 1} (\frac{对边}{侧边}) = θ$ ‍

容易混淆的地方!

表达式

\sin^{- 1} (x)

和

\frac{1}{\sin (x)}

不同。换句话来说，第一个表达式中的

- 1

不是一个指数，而是代表反函数。

如果我们把一个数字或变量升到

- 1

次幂，这指的是乘法的逆运算，也就是倒数。例如，

3^{- 1} = \frac{1}{3}

。一般来说，如果

a

是一个非零的实数，那么

a^{- 1} = \frac{1}{a}

。

但是, 这不是

\sin^{- 1} (x)

的情况。这是因为正弦是一个函数, 而不是数量!

一般来说，如果你看到一个函数的记号后面给这一个上标

- 1

，那它代表的是反函数。所以，例如

f

是一个函数，那么

f^{- 1}

代表的就是

f

的反函数。表达式

f^{- 1} (x)

表示当我们给反函数输入

x

的时候该反函数的输出值。

函数	图象
$\sin (x)$ ‍
$\sin^{- 1} (x)$ ‍ （也称作 $\arcsin (x)$ ‍）
$\frac{1}{\sin x}$ ‍ （也称作 $\csc (x)$ ‍）

然而我们可以用另外一种方法来表达反函数，以避免这个陷阱！反正弦也可以表示为

\arcsin

，反余弦也可以表示为

\arccos

，而反正切可以表示为

\arctan

。这些表达方式在电脑编程语言中很常见，但在数学上比较少见一些。

解决入门问题

在入门的问题中，我们已知对边和邻边的边长度，所以我们可以用反正切来求角度。

\begin{aligned} m ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{对边}{临边}) & 定义。 \\ m ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{35}{65}) & 代入数值 \\ m ∠ L & \approx {28.30}^{\circ} & 用计算器得出答案 \end{aligned}

现在我们试着练习几道题。

问题1

已知 $△ K I P$ ‍，求 $m ∠ I$ ‍。
将答案进到百分位。

^{\circ}

问题2

已知 $△ D E F$ ‍，求 $m ∠ E$ ‍。
将答案进到百分位。

^{\circ}

问题3

已知 $△ L Y N$ ‍，求 $m ∠ Y$ ‍。
将答案进到百分位。

^{\circ}

挑战题

解出以下三角形。即，找出所有未知的边和未知的角度。
将答案进到百分位。

O E =

m ∠ O =

^{\circ}

m ∠ Z =

^{\circ}

想加入讨论吗？

排序方式:

尚无帖子。

你会英语吗？单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.